Слайд 3
Колебания (колебательные движения)- изменения состояния, обладающие той или
иной степенью повторяемости во времени.
Гармонические колебания
Колебания могут иметь
различную физическую природу.
Колебания различают:
по характеру физических процессов
по характеру зависимости от времени.
Слайд 4
По характеру физических процессов:
Электромагнитные
колебания переменного электрического поля в
цепи, колебания векторов Е и В
Механические
колебания маятников, струн,
частей машин и механизмов, сооружений, волнение жидкостей
Электромеханические
колебания мембраны телефона, диффузора электродинамика
По характеру зависимости от времени:
Периодические
Непериодические
Слайд 5
По способу возбуждения колебаний:
Свободные
Вынужденные
Параметрические
Автоколебания
Система, совершающая колебания, называется
колебательной системой.
Слайд 6
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся
в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Периодические процессы
можно представить как наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
Слайд 7
Периодом колебаний (Т) называется наименьший промежуток времени, через
который повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебательное движение.
Частота периодических колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:
Слайд 8
Механические гармонические колебания
Рассмотрим прямолинейные гармонические колебания материальной точки
вдоль оси х около положения равновесия, совпадающего с началом
координат х = 0.
Зависимость координаты х от времени t задается уравнением
А – максимальное значение колеблющейся величины, называется амплитудой колебаний, ω – круговая (циклическая) частота, – фаза колебаний в момент времени t.
Слайд 9
Скорость колеблющейся точки меняется по закону:
Слайд 12
Отсюда:
модуль силы пропорционален смещению материальной точки из положения
равновесия;
направления силы и смещения противоположны.
Сила, действующая
на точку массой m:
Слайд 13
Такие силы называют возвращающими.
Зависимость
характерна для упругой силы.
Следовательно, сила всегда направлена к положению равновесия.
Силы другой физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называют квазиупругими.
Слайд 14
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:
Слайд 15
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под
действием упругой силы F:
Слайд 18
Гармонический осциллятор
Осциллятор – система, совершающая свободные колебания.
Классический
осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого
равновесия (например, пружинный маятник).
Свободные (собственные) колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешнего воздействия на колебательную систему.
Слайд 19
Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора
Решение этого уравнения:
Здесь x –
колеблющаяся величина.
Слайд 20
Математический маятник
Идеализированная система, состоящая из материальной точки массой
m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающей колебания
под действием силы тяжести.
Слайд 21
Физический маятник
Твердое тело, совершающее под действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О,
не совпадающую с центром масс тела С. Точку О называют точкой подвеса.
где L - приведенная длина
физического маятника.
Слайд 22
J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей
через точку подвеса.
Приведенная длина физического маятника – это длина
такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
Слайд 23
Пружинный маятник
Тело массы m, подвешенное на абсолютно упругой
пружине и совершающее прямолинейные гармонические колебания под действием упругой
силы F = -kx, где k –коэффициент жесткости пружины.
Уравнение движения:
Слайд 24
Сложение гармонических колебаний
Способ представления колебаний с помощью вращающегося
вектора амплитуды
Слайд 26
Сложение двух одинаково направленных колебаний
Сложение гармонических колебаний одного
направления и одинаковой частоты
Разность фаз этих колебаний не
зависит от времени t, т.е. (φ1 – φ2) = const, такие колебания называются когерентными
Слайд 27
Для нахождения результирующего колебания воспользуемся методом векторных
диаграмм.
Слайд 28
Если колебания синфазны: φ2 – φ1 = ±2mπ, следовательно, А = А1 + А2, происходит
усиление результирующего колебания.
Если колебания в противофазе: φ2 – φ1 = ±(2m +1)π, следовательно, А = |А1 – А2|,
происходит ослабление результирующего колебания.
Некогерентные колебания: ω1 ≠ ω2, т.е. разность фаз колебаний
(ω1 + φ1 – ω2 – φ2) ≠ const и изменяется с течением времени t.
При наложении таких колебаний получаются негармоническое результирующее колебание.
Слайд 29
Если амплитуды двух гармонических колебаний, направленных вдоль одной
прямой, одинаковы А1 = А2 = А, а их частоты мало отличаются друг
от друга Δω = ω2 – ω1 << ω1, то результирующее сложение этих колебаний получается с периодически изменяющейся амплитудой Аб.
Периодические изменения амплитуды от минимального значения до максимального называются биениями.
Уравнения колебаний имеют вид :
Слайд 30
*
Уравнение результирующего колебания
Слайд 31
*
Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой
ω, амплитуда Аб которого изменяется по периодическому закону:
Частота изменения
Аб в два раза больше частоты изменения косинуса (т.к. берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:
Период биений
Слайд 34
Гармонические колебания совпадают по направлению и имеют кратные
циклические частоты ω, 2ω, 3ω и т.д. В результате
их сложения получаются периодические негармонические колебания с периодом Т = 2π ∕ ω.
В свою очередь, любое сложное периодическое колебание S = f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω0 = 2π ∕ Т, где Т – период колебаний:
Слайд 35
*
Такое представление периодической функции f(t) называется разложением функции
в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.
Члены
ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω0, 2ω0, 3ω0 … называются первой (основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания S = f(t).
Совокупность этих гармоник образуют спектр колебаний S = f(t).
В простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник.
Часто под спектром колебаний понимают спектр (совокупность) его частот.
Слайд 36
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Сложение колебаний с одинаковыми частотами
Пусть
точка одновременно движется вдоль осей x и y:
Слайд 37
Рассмотрим несколько частных случаев:
1) Фазы колебаний равны.
x
= A1 sin ωt;
y = A2 sin ωt.
или
Слайд 38
Такие колебания называют линейно-поляризованными.
Слайд 39
2) Разность фаз равна π.
x = A1
sin (ωt + π) = - A1 sin ωt;
y = A2 sin ωt.
или
Слайд 40
В обоих случаях амплитуда результирующего колебания равна:
Слайд 42
Такие колебания называют эллиптически поляризованными.
Слайд 43
Если частоты складываемых колебаний относятся друг к другу
как целые числа, то траектория результирующего движения оказывается замкнутой,
а само движение – периодическим.
Прочерчиваемые точкой замкнутые траектории, образующиеся при целочисленных отношениях частот складываемых взаимно-перпендикулярных колебаний называют фигурами Лиссажу.
Сложение колебаний с разными частотами
Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний.
Слайд 44
По виду фигур можно определить неизвестную частоту по
известной, или определить отношение частот складываемых колебаний.
Отношение частот складываемых
колебаний равно отношению числа пересечений фигуры Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат.
Слайд 46
Затухающие колебания
Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за
потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.
Свободные
колебания реальной системы всегда затухают. Причиной затухания механических колебаний является трение, электрических колебаний – тепловые потери в проводниках.
Слайд 47
Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.
Обычно рассматриваются
линейные системы – идеализированные реальные системы, в которых параметры,
определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.
Линейными системами являются, например, пружинный маятник, колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.
Слайд 48
*
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы:
S –
колеблющаяся величина,
δ = const – коэффициент затухания,
ω0 – собственная циклическая частота
колебательной системы (т.е. в отсутствие потерь энергии, δ = 0).
Решение уравнения в виде
Слайд 49
Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания
под действием упругой силы, сила трения пропорциональна скорости:
Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний маятника:
r- коэффициент сопротивления.
Слайд 50
где
- коэффициент затухания;
- циклическая частота затухающих колебаний.
Слайд 51
Амплитуда затухающих колебаний:
Промежуток времени τ, в течение которого
амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем
релаксации:
Слайд 52
Затухающее колебание не является периодическим, и тем более
гармоническим.
Слайд 53
Характеристики колебательной системы:
Логарифмический декремент затухания:
Декремент затухания:
Ne –
число колебаний, совершаемых за время t = τ, в течение которого
амплитуда А уменьшается в е раз.
Слайд 54
Добротность:
Q равна с точностью до π числу колебаний
Ne, совершаемых системой за время релаксации τ.
Q равна произведению
2π на отношение энергии W(t) колебательной системы в момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T:
Слайд 55
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – незатухающие колебания, возникающие под
действием периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону:
Для механических колебаний
роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
Слайд 56
Для простейшего пружинного маятника, на который действует внешняя
сила:
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний маятника:
Слайд 57
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:
Сдвиг фаз между смещением и
вынуждающей силой:
Слайд 58
В установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими, происходят
с частотой внешней гармонической силы.
Слайд 59
В случае установившихся колебаний при некоторой частоте внешней
силы – резонансной частоте ωрез – амплитуда смещения достигает
максимального значения:
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется механическим резонансом.
Слайд 62
*
Квазистационарные токи. Процессы в колебательном контуре
Примером электрической цепи,
в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит простейший
колебательный контур.
Для простейшего колебательного контура R = 0.
Слайд 63
*
При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора С
в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и
тока в катушке. (R = 0)
Слайд 64
*
Энергия электрического поля запасается между обкладками конденсатора С:
Энергия
магнитного поля сосредоточена в катушке L:
Если R→ 0, тогда полная
энергия:
Слайд 65
*
Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью
равной скорости света c = 3 · 108 м/с. Если l –
линейные размеры контура не велики (l ‹‹ c / ν, ν – частота колебаний в контуре), то в каждый момент времени сила тока во всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется квазистационарным.
Слайд 66
*
Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда
такое направление, что создаваемое им переменное магнитное поле препятствует
изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток, т.е. когда конденсатор С разрядился (энергия магнитного поля и ток в цепи максимальные), то в этот момент ток I начинает убывать.
Слайд 67
*
Следовательно, магнитное поле в катушке
ослабевает, и в катушке возникает индукционный ток Ii, который
препятствует уменьшению магнитного поля.
Направление Ii совпадает с направлением первоначального тока, и положительные заряды продолжают идти в том же направлении, заряжая положительно другую обкладку конденсатора С.
Слайд 68
*
Закон Ома для контура:
UC – разность потенциалов
(напряжение) на обкладках конденсатора С, Ɛs – э.д.с. самоиндукции.
Из закона сохранения заряда следует, что сила квазистационарного тока
Уравнение (1):
Слайд 69
*
дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре –
дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
● R = 0 →
дифференциальное уравнение гармонических
колебаний.
Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими.
Слайд 70
*
Уравнение гармонических колебаний:
Qm – амплитуда заряда на конденсаторе
С,
ω0 – собственная частота гармонических колебаний.
Из уравнения (2) следует
- формула Томсона.
Слайд 71
*
амплитуда тока.
- амплитуда напряжения
Слайд 72
Из сопоставления электрических и механических
колебаний следует, что:
энергия электрического поля аналогична
энергия магнитного поля аналогична
кинетической энергии;
Индуктивность L играет роль массы т
1/С – роль коэффициента жесткости k
Заряду q соответствует смещение маятника х
Силе тока I ~ скорость υ
Напряжению U ~ ускорение а
потенциальной энергии упругой деформации
Слайд 73
*
Затухающие электрические колебания
В реальном контуре R ≠ 0, следовательно, есть
потеря энергии и затухание колебаний, которое характеризуется коэффициентом затухания
дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Слайд 74
*
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний:
- частота затухающих колебаний.
При
R = 0
– собственной частоте контура.
Слайд 75
Логарифмический декремент затухания:
Добротность колебательной системы:
W(t) – энергия колебательной системы
в момент времени t,
W(t) – W(t+T) – убыль энергии
за промежуток времени от t до T+ t.
Слайд 76
*
Вынужденные электрические колебания
возникают в контуре при включении внешней
э.д.с.
(1)
Закон Ома:
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Слайд 77
При установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора колеблется гармонически
с циклической частотой внешней э.д.с. – ω
где α
– сдвиг фаз между Q и внешней э.д.с.,
Слайд 78
Подставив уравнение (5) в уравнение (7), получим
– полное
сопротивление цепи.
Слайд 79
*
Из уравнения для внешней э.д.с. (1) и уравнения
(6) видно, что между током в контуре I и
внешней э.д.с. U есть сдвиг фаз
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний дает
Слайд 80
*
Из уравнений (9), (10) следует
– реактивное индуктивное сопротивление,
–
реактивное емкостное сопротивление.
Если
то φ > 0, т.е. ток I
отстает по фазе от U,
если
то φ < 0, т.е. ток I опережает
по фазе U.
Слайд 81
*
Уравнение (2) запишем в виде:
Сумма напряжений на отдельных
элементах контура равна в каждый момент времени внешней э.д.с.
Слайд 82
*
Сравнивая формулы для I, UR, UC, UL ,
можно сделать вывод
UR изменяется в фазе с током I,
UC
отстает от I, UR по фазе на
UL опережает I по фазе на
.
Слайд 83
*
Фазовые соотношения представляются векторной диаграммой
Резонансная частота для
заряда Q и напряжения UC.
Слайд 84
*
На рисунке изображены резонансные кривые для напряжения UC.
–
коэффициент затухания.
Чем меньше R
и больше L, тем выше и острее максимум при резонансе.
Слайд 85
*
Резонанс для тока возникает при
В этом случае
угол сдвига фаз между током и напряжением φ =
0 (tgφ = 0), изменение тока и напряжения происходит синфазно.
Слайд 86
*
Полное сопротивление цепи Z становится минимальным (Z = R), а
ток становится максимальным.
Резонансные кривые для тока сходятся в 0,
т.к. при постоянном напряжении (ω = 0) ток в цепи, содержащей конденсатор, не течет.
Слайд 87
*
Ток в цепи определяется активным сопротивлением R и
принимает максимально возможное при данном Um значение. При этом
падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи UR = U, а падение напряжения на конденсаторе UС и катушке индуктивности UL одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений или последовательным резонансом.
Слайд 88
*
Явление резонанса напряжений используется в технике для усиления
колебания напряжения какой-либо определённой частоты (для узкого интервала частот
вблизи резонансной частоты контура – радиоприёмник).
Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчёте изоляции электрических цепей (линий), содержащих C и L с целью предотвращения её пробоя.
Слайд 89
*
Резонанс токов (параллельный резонанс) наблюдается в цепях переменного
тока, содержащих параллельно включенные конденсатор C и катушку индуктивности
L, при приближении частоты приложенного напряжения к резонансной частоте
В этом случае разность фаз токов IC и IL в параллельных ветвях
∆φ = π, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе, а амплитуда тока I = Im = ICm + ILm во внешней (неразветвлённой) цепи равно нулю.
Слайд 90
При активном сопротивлении цепей R ≠ 0 разность фаз
токов ∆φ ≠ π амплитуда силы тока Im ≠
0, но будет иметь наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов токи IC и IL компенсируются, а сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через R. Может оказаться, что сила тока I << IC и IL.
Такой контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к ωрез.
Используется в резонансных усилителях; индукционных печах, в которых C и L подбирают таким образом, чтобы при частоте генератора сила тока через нагревательную катушку была гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.
Слайд 91
*
Переменный ток
Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание
в цепи, содержащей R, L, C, переменного тока, обусловленного
переменным напряжением
Этот ток изменяется по закону
Слайд 92
*
Ток I отстает по фазе от напряжения U
на φ, определяемую выражением
Полное электрическое сопротивление (импеданс)
Слайд 93
*
Переменный ток, текущий через R .
Закон Ома:
Следовательно, ток
изменяется в фазе с напряжением и φ
= 0.
Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:
L → 0, C → 0
Слайд 94
Переменный ток, текущий через L
R → 0, C → 0
IL
отстает от UL на
.
–
реактивное индуктивное сопротивление.
Постоянному току (ω = 0) индуктивность не оказывает сопротивление.
Слайд 95
*
Переменный ток, текущий через C
R → 0, L → 0
IC
опережает UC на
.
– реактивное емкостное
сопротивление.
Слайд 96
*
При R = 0
– реактивное сопротивление.
– полное сопротивление.
– фаза:
Слайд 97
*
Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений U(t)
и I(t)
Среднее значение
Слайд 98
*
Практическое значение представляет среднее значение мощности
P(t) ~
,
т.е. мгновенная
мощность колеблется около среднего значения с частотой в 2 раза превышающей частоту тока.
Слайд 99
Из векторной диаграммы видно, что
Подставляем это выражение
в формулу для среднего значения мощности:
Такую же мощность развивает
постоянный ток, сила которого равна
– действующее (эффективное) значение силы тока.
выделения в цепи требуемой мощности надо иметь большой ток,
что приводит к росту потерь в проводах.
Аналогично,
– действующее значение напряжения.
Уравнение средней мощности можно записать в виде:
называется коэффициент мощности.
В технике стремятся сделать максимальным.
Для промышленных установок
Слайд 101
*
Распространение колебаний в упругой среде.
Поперечные и продольные
волны
Волновой процесс (волна) – процесс распространения колебаний в среде
(волны на поверхности жидкости, упругие волны, электромагнитные волны).
Основное свойство волны: перенос энергии без переноса вещества, т.к. при распространении волны частицы среды не двигаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.
Слайд 102
*
Упругие (механические) волны – механические возмущения, распространяющиеся в
упругой среде.
Тело называется упругим, а его деформации, вызываемые внешними
воздействиями, называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекращения этих воздействий.
Газ, жидкость обладают только объёмной упругостью, т.е. способностью сопротивляться изменению объёма.
Твёрдое тело – объёмная упругость и упругость формы.
Слайд 103
Звуковые (акустические) волны – упругие волны малой интенсивности.
f = 16 ÷ 2·104
Гц – слышимый звук,
f 2·104 Гц – ультразвук,
f > 109
Гц – гиперзвук.
Интенсивность звука (сила звука) – величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны:
Слайд 104
*
Интенсивность звука – объективная характеристика звуковой волны.
Чувствительность человеческого
уха различна для различных частот, поэтому вводят субъективную характеристику
звука, связанную с его интенсивностью, и зависящую от частоты: громкость звука.
Физиологический закон Вебера – Фехнера: с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону.
Слайд 105
*
По измеренному значению интенсивности звука (объективная характеристика) вводят
объективную оценку громкости звука (субъективная характеристика) – уровень интенсивности
звука:
I0 – интенсивность звука на пределе слышимости, I0 = 10–12 Вт/м2.
Слайд 106
Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются
в направлении распространении волны.
Продольные волны связаны с объёмной
деформацией упругой среды, следовательно, могут распространяться в любой среде – твёрдой, жидкой, газообразной.
Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волн.
Они связаны с деформацией сдвига упругой среды, следовательно, распространяются в средах, обладающих упругостью формы, т.е. твёрдых телах.
Поверхностные волны – волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности (жидкости). Возмущения этой поверхности возникают под влиянием внешних воздействий.
Слайд 107
*
Бегущая волна
Бегущая волна – волна, которая в отличие
от стоячих волн, переносит энергию в пространстве.
Луч – линия,
касательная к которой в каждой её точке совпадает с направлением распространения волны.
Уравнение упругой волны – зависимость от координаты и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней волны.
Слайд 108
Механические возмущения распространяются в упругой среде с конечной
скоростью v. Поэтому возмущение достигает произвольной точки среды через
время
где l – расстояние от источника волны до
точки. Следовательно, колебания в точке отстают по фазе от колебаний источника волн.
Волновой фронт – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.
Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение (в простейшем случае плоская или сферическая).
В однородной изотропной среде волновые поверхности ортогональны лучам.
Слайд 109
*
Уравнение плоской волны
Волна называется плоской, если её волновые
поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.
Уравнение плоской волны
распространяющейся вдоль оси х.
Величина S, характеризующая колебательное движение среды, зависит только от времени t и координаты х.
Слайд 110
*
Колебания в точке М отличаются от колебаний в
точке 0 только тем, что они сдвинуты по времени
на x/v. Следовательно, S является функцией (t – x/v) и уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль x, принимает вид:
Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль x:
на которое распространяется волна за время равное периоду
Т, называется длиной волны – расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одной фазе.
Для характеристики волн используется волновое число
Тогда:
Слайд 112
*
Скорость распространения гармонической волны характеризуется фазовой скоростью. Она
равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующих любому
фиксированному значению фазы гармонической волны.
Это скорость перемещения фазы волны, поэтому её и называют фазовой скоростью.
Слайд 113
*
Уравнение плоской волны,
распространяющейся в произвольном направлении
– единичный
вектор нормали к волновой поверхности,
Слайд 114
*
– волновой вектор.
Формула Эйлера:
Физический смысл имеет
только действительная часть комплексной функции
Такая запись уравнения волны
удобна для дифференцирования.
Слайд 115
*
Распространение волн в однородной изотропной среде (физические свойства
среды одинаковы во всех точках и во всех направлениях)
описывается дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением:
– оператор Лапласа.
В частности это уравнение описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х:
Слайд 116
*
Энергия упругой волны.
Вектор Умова
Рассмотрим продольную плоскую волну в
твердой среде:
Деформация среды в плоскости х:
(взят символ частной
производной,
т.к. s = s(x,t))
Нормальное напряжение
пропорционально деформации
(для малых деформаций):
где Е – модуль Юнга среды.
Слайд 117
*
В положениях максимального отклонения частиц от положения равновесия
(∂s/∂x = 0) ε = 0, σ
= 0
В местах прохождения частиц через положения равновеси ε, σ - максимальны (с чередованием ±ε, т.е. растяжений и сжатий)
Процесс распространения
продольной упругой волны
Слайд 118
Скорость продольной волны связана с характеристиками среды следующим
образом:
, где ρ – плотность среды.
Скорость поперечной
волны
, G – модуль сдвига.
- плотность энергии упругой волны (как поперечной, так и продольной) в каждый момент времени в разных точках пространства различна.
Слайд 119
*
Среднее по времени значение плотности энергии в каждой
точке среды
Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в
пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объёмной плотности волны w.
Для гармонической волны эта скорость равна фазовой скорости.
Слайд 120
*
Поток энергии dФw сквозь малую площадку dS –
отношение энергии dW, передаваемой через эту площадку за малый
промежуток времени dt, к его величине dt:
Поток
где
– вектор плотности потока энергии (вектор Умова)
Слайд 121
*
Интенсивность волны – среднее значение плотности потока энергии,
переносимой волной (среднее значение вектора Умова).
Преобразование энергии волны в
другие виды энергии, происходящее при распространении волны в среде, называется поглощением волн.
α – линейный коэффициент поглощения, зависит от свойств среды и частоты волн.
Дисперсия волн – зависимость фазовой скорости гармонической волны в среде от их частоты.
Слайд 122
*
Интерференция волн.
Стоячие волны
Две волны называются когерентными, если разность
их фаз не зависит от t.
Интерференция волн – явление
наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усилие в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.
Слайд 123
Амплитуда результирующей волны в точке М:
Для когерентных источников
разность начальных фаз Δφ = φ1 – φ2 = const, следовательно, амплитуда А результирующей волны
зависит от разности хода волн Δ = r1 – r2 .
Слайд 124
*
– интерференционный максимум А = А1 + А2.
– интерференционный минимум
А = А1 – А2.
Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны –
волны, образующиеся в результате наложения 2-х бегущих гармонических волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые А и ω.
Слайд 125
*
Аст(х) – амплитуда стоячей волны, в отличие от
амплитуды бегущей волны, является функцией только координаты
Слайд 126
Точки среды, где
называются пучностями.
Точки среды, где
называются
узлами.
Координаты пучностей
Координаты узлов
Расстояние между двумя соседними пучностями
и двумя соседними узлами одинаковое и равно λ/2.
Слайд 127
*
При переходе через узел фаза колебаний меняется на
π.
В отличие от бегущей волны у стоячей волны все
точки между двумя соседними узлами колеблются с различными А, но с одинаковыми фазами, т.е. синфазно.
Слайд 128
Колебание струны
v – фазовая скорость волны; определяется силой натяжения
и линейной плотностью струны.
Слайд 129
*
– собственные частоты, им соответствуют собственные колебания –
гармоники.
– основная частота (самая низкая частота).
v – фазовая скорость волны;
определяется силой натяжения и линейной плотностью струны.
Слайд 130
*
Эффект Доплера в акустике
Эффект Доплера – изменение частоты
волн, регистрируемых приёмником, при движении источника волн и приёмника
друг относительно друга.
(При приближении поезда тон его звука становится выше, при удалении – ниже.)
Слайд 131
*
Источник и приёмник покоятся υист = υпр = 0.
Длина волны
υ – скорость звука в
среде (фазовая скорость).
Частота волн, регистрируемых приёмником,
Частота звука ν, которую зарегистрирует приемник, равна частоте ν0, с которой звуковая волна излучается источником.
