Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Движение частицы

Содержание

Тема 5. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ВОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 5.1. Движение свободной частицы5.2. Частица в одномерной прямоугольнойяме с бесконечными внешними «стенками»5.3. Гармонический осцилляторх5.4. Прохождение частиц сквозьпотенциальный барьер. Туннельный эффект
Краткий курс лекций по физике Кузнецов Сергей Иванович Тема 5. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ВОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 5.1. Движение свободной частицы5.2. Частица 5.1. Движение свободной частицы х	Свободная частица – частица, движущаяся в отсутствие внешних х(1)	Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (1) является х	Из выражения (2) следует, что зависимость энергии от импульса оказывается обычной для хт.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными.	Таким образом, свободная частица описывается плоской Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера, применительно к частице в яме с х	Такая яма описывается потенциальной энергией видагде l – ширина «ямы», а энергия хРисунок 1 х	Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде: (5) х	По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», х   В пределах «ямы» (0 ≤ x ≤ l) уравнение хОтсюда следует, 			что: (11)где n = 1, 2, 3…   Т.е. х	Квантовые значения энергии En называется уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические х	Найдем собственные функции: Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки:В результате интегрирования Графики собственных функций соответствующие уровням энергии при п = 1, 2, 3… х   Плотность вероятности |Ψ(x)|2 обнаружения частицы на различных расстояниях от хИз выражения следует, что энергетический интервал между двумя соседними условиями равен Например, Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (l ≈ 10–10 м), Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица х	Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна  Δx = Из уравнений (5) и (11) следует, что при бoльших квантовых числах хПринцип соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает х5.3. Гармонический осциллятор 	Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием (а)(б).	В точках с координатами –x0 и +x0, полная энергия равна потенциальной энергии. х	Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовый осциллятор - описывается уравнением Шредингера:	Значения хРисунок 3  ΔEn=  ω и  не зависит от n.называется х	В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов квантовой системы из одного состояния хПлотность вероятности нахождения частицы |Ψ|2=Ψ∙Ψ*При n = 2 в середине ямы частицы быть не может. х	Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется только порциями, т.е. квантуетсяПричем минимальная порция Кроме того, квантово – механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить и х5.4. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект Рассмотрим простейший потенциальный барьер х		При E < U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица х	Уравнение Шредингера для состояний в каждой из выделенных областей имеет вид: 	Общее х	Учитывая значение q и то, что А1 = 1, B3 = 0, х1. В области 1 плоская волна де Бройля.2. Волновая функция не равна Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению х	Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формыДля барьера произвольной формы х	Прохождение частицы сквозь ,барьер можно пояснить соотношением неопределенностей: 	Неопределенность импульса на отрезке С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Основы теории туннельных переходов заложены работами Лекция окончена!!!
Слайды презентации

Слайд 2 Тема 5. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В
ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
5.1.

Тема 5. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ВОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 5.1. Движение свободной частицы5.2.

Движение свободной частицы
5.2. Частица в одномерной прямоугольной
яме с бесконечными

внешними «стенками»

5.3. Гармонический осциллятор

х

5.4. Прохождение частиц сквозь
потенциальный барьер. Туннельный эффект


Слайд 3 5.1. Движение свободной частицы
х
Свободная частица – частица,

5.1. Движение свободной частицы х	Свободная частица – частица, движущаяся в отсутствие

движущаяся в отсутствие внешних полей.
Т.к. на свободную частицу

(пусть она движется вдоль оси x) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x)=const и ее можно принять равной нулю: (U=0)
Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.
В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид


(1)


Слайд 4 х
(1)
Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным

х(1)	Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (1)

решением уравнения (1) является функция


где A=const и k=const,

с собственным значением энергии:


(2)



Слайд 5 х
Из выражения (2) следует, что зависимость энергии от

х	Из выражения (2) следует, что зависимость энергии от импульса оказывается обычной

импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц:





Следовательно, энергия свободной

частицы может принимать любые значения (т.к. число может принимать любые значения), т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Слайд 6 х
т.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными.
Таким образом,

хт.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными.	Таким образом, свободная частица описывается

свободная частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля.
Этому

способствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства.

Слайд 7 Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера, применительно к

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера, применительно к частице в яме

частице в яме с бесконечно высокими «стенками».
5.2. Частица в

одномерной прямоугольной
яме с бесконечными внешними «стенками»

Слайд 8 х
Такая яма описывается потенциальной энергией вида

где l –

х	Такая яма описывается потенциальной энергией видагде l – ширина «ямы», а

ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна. (для

простоты принимая, что частица движется вдоль оси x)

Слайд 9 х
Рисунок 1

хРисунок 1

Слайд 10 х
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной

х	Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде: (5)

задачи запишется в виде:

(5)


Слайд 11 х
По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не

х	По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы

проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения, (а

следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю.
На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид

(6)


Слайд 12 х
В пределах «ямы» (0 ≤

х  В пределах «ямы» (0 ≤ x ≤ l) уравнение

x ≤ l) уравнение Шредингера (5) сведется к уравнению



(7)

где

Общее решение дифференциального уравнения (7)

Уравнение Ψ(l) = A sin kl = 0 выполняется только при


Слайд 13 х
Отсюда следует,
что:

(11)
где n = 1, 2,

хОтсюда следует, 			что: (11)где n = 1, 2, 3…  Т.е.

3…
Т.е. стационарное уравнение Шредингера описывающее движение

частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа n.

Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.

Слайд 14 х
Квантовые значения энергии En называется уровнями энергии, а

х	Квантовые значения энергии En называется уровнями энергии, а число п, определяющее

число п, определяющее энергетические уровни - главным квантовым числом.



Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Слайд 15 х
Найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из

х	Найдем собственные функции: Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки:В результате

условия нормировки:

В результате интегрирования получим
Собственные функции

будут иметь вид:

где n = 1, 2, 3…


Слайд 16 Графики собственных функций соответствующие уровням энергии при

Графики собственных функций соответствующие уровням энергии при п = 1, 2, 3…

п = 1, 2, 3…


Слайд 17 х
Плотность вероятности |Ψ(x)|2 обнаружения частицы

х  Плотность вероятности |Ψ(x)|2 обнаружения частицы на различных расстояниях от

на различных расстояниях от «стенок» ямы для п

= 1, 2, 3

В квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях.
Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.


Слайд 18 х
Из выражения

следует, что энергетический интервал между

хИз выражения следует, что энергетический интервал между двумя соседними условиями равен

двумя соседними условиями равен

Например, для электрона при размерах

ямы l=10–10м (свободные электроны в металле)
ΔEn ≈ 10–35 n Дж ≈ 10–16 n Эв,
т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным.

Слайд 19 Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки

Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (l ≈ 10–10

(l ≈ 10–10 м), то для электрона
ΔEn ≈

10–17 n Дж ≈ 10–2 n Эв,
т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).
Т.о., применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими “стенками” приводит к квантовым значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

х


Слайд 20 Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что

к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно

высокими «стенками» не может иметь энергию,

х

меньшую, чем минимальная энергия
равная (при n=1):

Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Докажем это:


Слайд 21 х
Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l

х	Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна Δx =

равна Δx = l.
Тогда согласно соотношению неопределенностей,

импульс не может иметь точное, в данном случае, нулевое, значение. Неопределенность импульса:

Такому разбросу значений импульса
соответствует минимальная кинетическая энергия:

Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение


Слайд 22 Из уравнений (5) и (11) следует, что

Из уравнений (5) и (11) следует, что при бoльших квантовых

при бoльших квантовых числах n>>1
х
т.е. соседние уровни расположены тесно:

тем теснее, чем больше п.
Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается.
Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923 г.) согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Слайд 23 х
Принцип соответствия:
всякая новая, более общая теория, являющаяся

хПринцип соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не

развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в

себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.

Слайд 24 х
5.3. Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую

х5.3. Гармонический осциллятор 	Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под

одномерное движение под действием квазиупругой силы F=kx.
Потенциальная энергия

частицы


.

где

или


Слайд 25 (а)
(б)

.


В точках с координатами –x0 и +x0, полная

(а)(б).	В точках с координатами –x0 и +x0, полная энергия равна потенциальной

энергия равна потенциальной энергии. Поэтому
с классической точки зрения частица

не может выйти за пределы области –x0 и +x0

График потенциальной энергии частицы:


Слайд 26 х
Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовый осциллятор

х	Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовый осциллятор - описывается уравнением

- описывается уравнением Шредингера:
Значения полной энергии осциллятора
где n =

0, 1, 2…

Слайд 27 х
Рисунок 3
ΔEn= ω и

хРисунок 3 ΔEn= ω и не зависит от n.называется нулевой энергией,


не зависит от n.
называется нулевой энергией, т.е. при Т

= 0К колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.
Это означает что частица не может находиться на дне потенциальной ямы.

Минимальная
энергия


Слайд 28 х
В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов квантовой

х	В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов квантовой системы из одного

системы из одного состояния в другое. Для гармонического осциллятора

возможны лишь переходы между соседними уровнями.


Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора:


Слайд 29 х

Плотность вероятности нахождения частицы
|Ψ|2=Ψ∙Ψ*
При n = 2

хПлотность вероятности нахождения частицы |Ψ|2=Ψ∙Ψ*При n = 2 в середине ямы частицы быть не может.

в середине ямы частицы быть не может.


Слайд 30 х
Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется только порциями,

х	Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется только порциями, т.е. квантуетсяПричем минимальная

т.е. квантуется

Причем минимальная порция энергии

(Вспомним тепловые излучения, где энергия

излучается квантами).
Кроме того например, при n = 2 в середине сосуда частицы быть не может. Это совершенно непонятно с классической точки зрения. Квантуется не только энергия, но и координата частицы!

Слайд 31 Кроме того, квантово – механический расчет показывает, что

Кроме того, квантово – механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить

частицу можно обнаружить и за пределами ямы, т.е. в

области с координатами –x0 и +x0 , в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы этой ямы.

Слайд 32 х
5.4. Прохождение частиц сквозь
потенциальный барьер. Туннельный эффект

х5.4. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект Рассмотрим простейший потенциальный


Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы высоты U и

шириной l для одномерного (по оси х) движения частицы.

Рисунок 5

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е:
либо беспрепятственно пройдет под барьером,
либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.


Слайд 33 х

При E < U имеется также отличная от

х		При E < U имеется также отличная от нуля вероятность, что

нуля вероятность, что частица окажется в области x >

l, т.е. проникнет сквозь барьер.
Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Для микрочастицы же, даже при E > U, имеется отличная от нуля возможность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону.


Слайд 34 х
Уравнение Шредингера для состояний в каждой из выделенных

х	Уравнение Шредингера для состояний в каждой из выделенных областей имеет вид:

областей имеет вид:

Общее решение этих дифф. уравнений:
Здесь q

= iβ – мнимое число,

Слайд 35 х
Учитывая значение q и то, что А1 =

х	Учитывая значение q и то, что А1 = 1, B3 =

1, B3 = 0, получим решение уравнения Шредингера для

трех областей в следующем виде:

В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые а действительные


Слайд 36 х

1. В области 1 плоская волна де Бройля.

2.

х1. В области 1 плоская волна де Бройля.2. Волновая функция не

Волновая функция не равна нулю и внутри барьера, хотя

уже не соответствует плоским волнам де Бройля

3. В области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.

Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рис.


Слайд 37 Таким образом, квантовая механика приводит к

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению

принципиально новому квантовому явлению -
туннельному эффекту,
в

результате которого микрообъект может пройти через барьер.

Слайд 38 х

Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы
Для барьера произвольной

х	Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формыДля барьера произвольной формы

формы


Слайд 39 х

Прохождение частицы сквозь ,барьер можно пояснить соотношением неопределенностей:

х	Прохождение частицы сквозь ,барьер можно пояснить соотношением неопределенностей: 	Неопределенность импульса на


Неопределенность импульса на отрезке Δx = l составляет

Связанная с этим разбросом в значении импульса

может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной.

кинетическая энергия


Слайд 40 С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при

барьер при E < U невозможно,

так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией.

Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.

Слайд 41 Основы теории туннельных переходов заложены работами

Основы теории туннельных переходов заложены работами    советских ученыхЛ.И.

советских ученых
Л.И. Мандельштама и М.А.

Леонтовича в 1928 г. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений:
физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников),
атомной и ядерной физики
(например, α-распад, протекание термоядерных реакций).

  • Имя файла: dvizhenie-chastitsy.pptx
  • Количество просмотров: 147
  • Количество скачиваний: 0