Презентация на тему Кинематика и ее задачи

без учета сил,
вызывающих это движение, состоит из двух

отделов:

Кинематика точки – изучает движение материальной точки, является базой для изучения движения точек твердого тела.
Задание движения точки – необходимо иметь возможность определения положения точки в пространстве в любой момент времени (уравнения, геометрия механизма и известный закон движения ведущего звена).
Траектория движения точки – совокупность положений точки в пространстве при ее движении.

Кинематика точки

Кинематика

Кинематика твердого тела

Задаются координаты положения точки.

Задаются закон движения точки и траектория.

Три способа задания движения точки:
Векторный способ: Координатный способ: Естественный способ:
Задается величина и направление радиуса-вектора.

Все три способа задания эквивалентны и связаны между собой:
1. Векторный и координатный – соотношением:

2. Координатный и естественный – соотношением:

3. Для получения уравнения траектории движения необходимо из уравнений движения координатного способа исключить время, т.к. траектория
не зависит от времени:

Последние два уравнения представляют собой уравнения линейчатых поверхностей,
линия пересечения которых и есть траектория движения точки.

Например:

Последние два уравнения представляют собой уравнения цилиндрической поверхности
радиуса R c образующей, параллельной оси z, и плоской поверхности, параллельной
координатной плоскости Oxy и смещенной по оси z на величину c. Линия пересечения
этих поверхностей (окружность радиуса R) - траектория движения точки.

1

характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве.
Три способа задания

движения точки определяют способы определения скорости точки:
Векторный способ: Сравним два положения точки в моменты времени t и t1= t + t:

вектор средней скорости в интервале времени t,

вектор истинной скорости точки в момент времени t, направлен по касательной к траектории
(при приближении M1 к M хорда занимает положение касательной).

Устремим t  0 и перейдем к пределу:

Предел отношения приращения функции
к приращению приращения аргумента есть
производная функции (по определению):

направлен по направлению вектора перемещения (хорде MM1).

Связь радиуса-вектора с координатами определяется выражением:

Проекции
скорости
на оси
координат:

Представим радиус-вектор как сложную функцию:

Представим производную
радиус-вектора как предел:

Вектор приращения радиуса-вектора направлен по хорде MM1 и в пределе занимает положение касательной.

При s  0 радиус кривизны 1  , угол
между радиусами кривизны   0, числитель -
- основание равнобедренного треугольника,
знаменатель – длина круговой дуги радиуса .

Таким образом, производная радиуса-вектора по дуговой координате есть единичный вектор, направленный по касательной к траектории.
Вектор скорости равен: Проекция скорости на касательную:
При вектор скорости направлен в сторону увеличения дуговой координаты, В противном случае – в обратную сторону.

Величина производной
радиуса-вектора
по дуговой координате равна 1:

Координатный способ:

Естественный способ:

Используем векторную форму определения скорости:

Используем векторную форму определения скорости:

Компоненты
(составляющие)
вектора
скорости:

2

характеризующая быстроту изменения скорости точки.
Три способа задания движения точки

определяют способы определения ускорения точки:
Векторный способ: Сравним скорости точки в двух положениях точки в моменты времени t и t1= t + t:

вектор среднего ускорения в интервале времени t, направлен в сторону вогнутости траектории.

Переходя к пределу получаем:

вектор истинного ускорения точки в момент времени t, лежит в соприкасающейся плоскости (предельное положение плоскости, проведенной через касательную в точке M и прямую, параллельную касательной в точке M1, при стремлении M1 к M) и направлен в сторону вогнутости траектории.

Координатный способ: Используем полученное векторное выражение и связь радиуса-вектора с координатами

Проекции
ускорения
на оси
координат:

Компоненты
(составляющие)
вектора
ускорения:

Естественный способ: Используем векторное выражение для ускорения и выражение для скорости при естественной способе задания:

Величина производной
единичного касательного вектора
по дуговой координате:

Представим единичный
касательный вектор
как сложную функцию:

Производная единичного
касательного вектора:

При s  0 радиус кривизны 1  , угол
между радиусами кривизны   0, числитель -
основание равнобедренного треугольника,
образованного единичными векторами 1 и ,
знаменатель – длина круговой дуги радиуса .

Таким образом, производная
единичного касательного вектора
по дуговой координате есть вектор,
направленный перпендикулярно
касательной к траектории.

Угол между приращением
единичного вектора 
и самим вектором 
при   0, стремится к 90о.

Введем единичный вектор n, нормальный (перпендикулярный) к касательной,
направленный к центру кривизны.

С использованием вектора n и ранее
определенных величин
ускорение представляется как сумма векторов:

Компоненты
(составляющие)
вектора
ускорения:

Проекции
ускорения
на оси  и n:

Таким образом полное ускорение точки есть векторная сумма двух ускорений:
касательного, направленного по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты, если (в противном случае – в противоположную) и
нормального ускорения, направленного по нормали к касательной в сторону центра
кривизны (вогнутости траектории):

Модуль полного ускорения:

3

точки по траектории, при котором касательное ускорение не изменяется

по величине.

Запишем выражение для касательного ускорения через проекцию скорости:

Полученное выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается разделением переменных и интегрированием левой
и правой частей:

В свою очередь скорость точки также связывается с дуговой координатой дифференциальной зависимостью:

После подстановки
выражения для скорости
и интегрирования получаем :

скорость точки
при равнопеременном движении

дуговая координата
точки при равно-
переменном движении

Классификация движений точки.

4

тела, кинематика точки используется для получения новых зависимостей и

формул.

Поступательное движение твердого тела – такое движение при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе. Обычно поступательное движение отождествляется с прямолинейным движением его точек, однако это не так. Точки и само тело (центр масс тела) могут двигаться по криволинейным траекториям, см. например, движение кабины колеса обозрения.

Теорема о поступательном движении твердого тела – При поступательном движении твердого тела все его точки описывают тождественные траектории и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости и ускорения.

Проведем радиус-векторы к двум точкам A и B, а также соединим эти точки вектором rBA.

В любой момент времени выполняется векторное равенство:

В любой момент времени вектор rBA остается постоянным по направлению
(по определению поступательного движения) и по величине
(расстояние между точками не изменяется). Отсюда:
и это означает, что в каждый момент времени положение точки A отличается от положения
точки B на одну и ту же величину rBA = const, т.е. траектории этих двух точек тождественны
(совпадают друг с другом при наложении).

Продифференцируем по времени левую и правую часть соотношения:

и это означает, что в каждый момент времени скорость точки A равна геометрически
(т.е. векторно) скорости точки B.

Второе дифференцирование по времени приводит к соотношению:

и это означает, что в каждый момент времени ускорение точки A равно геометрически
(т.е. векторно) ускорению точки B.

Таким образом, поступательное движение твердого тела полностью определяется
движением одной точки, принадлежащей этому телу и выбранной произвольным образом.
Все параметры движения этой точки (траектория, скорость и ускорение) описываются
уравнениями и соотношениями кинематики точки.

5

– движение при котором все его точки движутся в

плоскостях, перпендикулярных некоторой неподвижной прямой, и описывают окружности с центрами, лежащими на этой прямой, называемой осью вращения.

Задание вращательное движения – движение задается законом изменения двугранного угла φ (угла поворота), образованного неподвижной плоскостью P, проходящей через ось вращения, и плоскостью Q, жестко связанной с телом:

P

Q

- уравнение вращательного движения

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота.

средняя угловая скорость в интервале времени t,

Устремим t  0 и перейдем к пределу:

истинная угловая скорость
в момент времени t

Если dφ/dt > 0, то вращение происходит в сторону увеличения угла поворота,
если dφ/dt < 0, то вращение происходит в сторону уменьшения угла поворота.

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости.

среднее угловое ускорение в интервале времени t,

Устремим t  0 и перейдем к пределу:

истинное угловое ускорение
в момент времени t

Если d2φ/dt2 и dφ/dt одного знака, то скорость увеличивается по модулю и вращение называется ускоренным (дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения направлены в одну сторону),
если d2φ/dt2 и dφ/dt разного знака, то скорость уменьшается по модулю и вращение называется замедленным (дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны).

Угловая скорость изображается дуговой стрелкой в сторону вращения.

ω

Угловое ускорение изображается дуговой стрелкой в сторону увеличения угла поворота при .

ε

Равномерное вращение – угловая скорость не изменяется по величине.

Равнопеременное вращение – угловое ускорение не изменяется по величине.

6

твердого тела – траектория точки известна (окружность радиуса R

– расстояние точки до оси вращения), можно применить формулу для определения скорости точки при естественном задании движения:

O

+

-

s

φ

R

Дуговая координата связана
с радиусом окружности:

Тогда проекция скорости
на касательную к окружности:

Поскольку далее работают с модулем угловой скорости после изображения ее
в виде дуговой стрелки расчетной формулой является выражение для модуля скорости:
и вектор скорости направляют перпендикулярно радиусу
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

ω

Как следует из формулы скорость точки пропорциональна расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения).

Ускорение точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна, можно применить
формулы для определения ускорений точки при естественном задании движения:

Тогда проекции ускорения на касательную к окружности и нормаль:

Поскольку далее работают с модулем углового ускорения после изображения его в виде дуговой стрелки расчетной формулой является выражение для касательного ускорения: и вектор этого ускорения, называемого вращательным ускорением, направляют перпендикулярно радиусу в сторону дуговой стрелки углового ускорения.

ε

Нормальное ускорение теперь называется осестремительным ускорением , его направляют по радиусу к оси вращения независимо от направления дуговой стрелки угловой скорости, не говоря уж о направлении дуговой стрелки углового ускорения.

Как следует из формул оба ускорения точки пропорциональны расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения).

Полное ускорение точки, как и ранее, есть векторная сумма этих ускорений:

z

z

7

движение при котором каждая точка тела движется в в

плоскости параллельной некоторой неподвижной плоскости. Сечение тела одной из таких плоскостей есть плоская фигура, остающаяся в этой плоскости при движении тела.

Теорема о плоскопараллельном движении твердого тела – плоскопаралллельное движение твердого тела однозначным образом определяется движением плоской фигуры, образованной сечением тела одной из параллельных плоскостей.
Выберем две точки на произвольных двух сечениях тела, находящиеся на одном перпендикуляре к этим плоскостям:

Проведем к каждой точке радиусы-векторы из неподвижной точки O и свяжем их между собой вектором
M1M2:

При плоском движении тела вектор M1M2 не изменяется по величине, остается параллельным самому себе (движется поступательно) и, следовательно, точки этого вектора описывают тождественные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения:

Таким образом, при плоском движении тела движение каждой точки одной из плоских фигур определяет движение соответствующих точек,
находящихся во всех других смежных параллельных плоскостях.

Следствие: Поскольку положение плоской фигуры однозначно определяется положением ее двух точек или отрезка прямой, проведенной через эти точки, то плоскопараллельное движение твердого тела определяется движением прямолинейного отрезка, принадлежащего одному из сечений тела параллельными плоскостями.

Разложение плоскопараллельного движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движения – Плоскую фигуру или отрезок прямой можно перевести из одного положения в другое бесчисленным множеством способов, меняя последовательность выполнения поступательного и вращательного движения между собой, а также выбирая различные траектории и точки в качестве полюса:

Таким образом, плоскопараллельное движение состоит из двух движений: поступательное и вращательное, и его всегда можно разложить на эти два движения. При этом поступательное зависит от выбора полюса и траектории движения, а вращательное, характеризуемое поворотом вокруг выбранного полюса, не зависит от выбора полюса (для любого полюса величина угла поворота и направление вращения – одинаковы).

A

B

B1

A2

B2

A1

Уравнение движения плоской фигуры: Выбирая в качестве полюса любую точку, например, A, поступательная часть движения будет описываться уравнениями движения этой точки. Вращательная часть движения описывается уравнением изменения угла поворота вокруг полюса:

Уравнения движения любой точки плоской фигуры, положение
которой задается координатами локальной системы отсчета, связанной с фигурой:

8

фигуры от выбора полюса – Выберем два произвольных прямолинейных

отрезка, изображающих положение плоской фигуры и два полюса на этих отрезках:

Углы наклона отрезков к горизонтальной оси различны и связаны между собой соотношением:

Продифференцируем это соотношение:

Отсюда следует, что угловые скорости двух отрезков равны:

После повторного дифференцирования следует,
что угловые ускорения двух отрезков также равны:

Таким образом, угловая скорость и угловое ускорение
плоской фигуры не зависят от выбора полюса и их можно представить в виде векторов, перпендикулярных плоскости фигуры:

Теорема о сложении скоростей – Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Радиусы-векторы точек A и B связаны между собой соотношением:

Продифференцируем это соотношение:

Второе слагаемое есть вращательная
скорость точки B вокруг полюса A:

Таким образом, скорость точки B равна геометрической сумме скорости полюса A и вращательной скорости точки B вокруг полюса :

Следствие 1 – Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось,
проходящую через эти точки равны .

x1

Спроецируем векторное соотношение на ось x1:

Следствие 2 – Концы векторов скоростей точек плоской фигуры, лежащих на одной прямой, также
лежат на одной прямой и делят эту прямую на отрезки пропорциональные расстояниям между точками.

Концы векторов вращательных скоростей точек B и A лежат на одной прямой и делят ее на отрезки
пропорциональные расстояниям между точками:

Концы векторов скоростей полюса A лежат, изображенных
в точках B и C также лежат на одной прямой.

9

При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует

точка, жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю.

Пусть известна скорость одной из точек фигуры и угловая скорость вокруг этой точки:

Запишем векторное соотношение для скорости некоторой точки P согласно теоремы о сложении скоростей:

Зададим значение скорости этой точки P равной нулю:

Тогда получаем:

Это позволяет найти положение МЦС (точки P), а именно: МЦС должен находиться на перпендикуляре к скорости точки A, отложенном в сторону угловой скорости, на расстоянии:

Т.е. вращательная скорость искомой точки должна быть равна по модулю скорости точки A, параллельна этой скорости и направлена в противоположную сторону.

Если положение МЦС найдено, скорость любой точки плоской фигуры может быть легко определена посредством выбора полюса в МСЦ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении скоростей вырождается в известную зависимость скорости от расстояния до центра вращения:

Другими словами, можно утверждать, что в любой момент времени тело
не совершает никакого другого движения,
кроме как вращательного движения вокруг МЦС.

10

определения скоростей точек плоской фигуры – Поскольку при движении

плоской фигуры в каждый момент времени существует точка (МЦС), жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю, то при определении скоростей эту точку и следует выбирать в качестве полюса, играющего роль центра вращения в данный момент времени.
Ниже рассмотрим процедуру определения скоростей на примерах:

1

Дано: vA, положения точек A, B, C,проскальзывание отсутствует.
Найти: vB, vC

1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
(нет проскальзывания и точка с нулевой скоростью
совпадает с точкой контакта колеса и неподвижной
поверхностью качения).

2) Определяем угловую скорость:

3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:

Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону вектора линейной скорости vA.

Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

2

Дано: vA, ω ,положения точек A, B, C.
Найти: vB, vC

1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA

2) Определяем расстояние до МЦС:

3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:

Расстояние AP откладываем в сторону дуговой
стрелки угловой скорости. Дуговую стрелку
угловой скорости изображаем вокруг МЦС.

Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

3

Дано: vA, vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC

МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA ,vB,

2) Определяем угловую скорость:

Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.

3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:

4

Дано: vA, траектория точки B, положения точек A, B, C.
Найти: vC,

МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к вектору vA и касательной к траектории точки B.

2) Определяем угловую скорость:

Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейной скорости vA .

3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:

11

скоростей точек плоской фигуры
5
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек

A, B, C.
Найти: vC

1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA и vB. Эта точка находится в бесконечности.

2) Угловая скорость обращается в нуль (мгновенно
поступательное движение):

3) Скорость точки C равна геометрически скоростям точек
A и B:

Вектор скорости точки C направлен параллельно векторам скоростей точек A и B (в ту же сторону).

6

Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC

1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA и vB. Эти перпендикуляры сливаются
в одну линию.

2) Определяем положение МЦС
(проводим линию через концы
векторов vA и vB) и угловую
скорость:

3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки:

Дуговую стрелку угловой скорости изображаем
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.

Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

7

Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC

1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA и vB. Эти перпендикуляры сливаются
в одну линию.

2) Определяем положение МЦС
(проводим линию через концы
векторов vA и vB) и угловую
скорость:

3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки:

Дуговую стрелку угловой скорости изображаем
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.

Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.

Пример использования МЦС при исследовании работы
кривошипно-шатунного механизма – См. решение задачи М.16.28
“Теоретическая механика в примерах и задачах. Кинематика” (электронное
пособие автора www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),

Теорема о сложении ускорений – Ускорение любой точки
плоской фигуры равна геометрической сумме ускорения полюса
и ускорения этой точки вокруг полюса.

Скорости точек A и B связаны между собой соотношением:

Продифференцируем это соотношение по времени:

Второе слагаемое дифференцируем как произведение двух функций:

Получили сумму вращательного и осестремительного ускорений
рассматриваемой точки относительно полюса. Таким образом,
ускорение точки плоской фигуры:

Следствие – Концы векторов ускорений точек плоской
фигуры, лежащих на одной прямой, также лежат на одной
прямой и делят ее на отрезки, пропорциональные расстояниям
между точками.

Концы векторов ускорений точек aBA и aСA
лежат на одной прямой Abc и делят ее на
отрезки пропорциональные расстояниям
между точками:

Концы векторов ускорений полюса A,
изображенных в точках B и C, лежат
также лежат на одной прямой.

Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов
суммарных ускорений точек B и C также лежат на одной прямой,
и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям
между точками.

12

такое движение, при котором точка участвует одновременно в двух

или нескольких движениях.
Примеры сложного движения точки (тела): лодка, переплывающая реку; человек, идущий по движущемуся эскалатору; камень подвижной кулисы, поршень качающегося цилиндра; шары центробежного регулятора Уатта.
Для описания сложного движения точки или для представления движения в виде сложного используются
неподвижная система отсчета O1, связанная с каким-либо условно неподвижным телом, например, с Землей, и
подвижная система отсчета Oxyz, связанная с каким-либо движущимся телом.

Абсолютное движение ( a ) - движение точки, рассматриваемое относительно неподвижной системы
отсчета. Относительное движение ( r ) - движение точки, рассматриваемое относительно подвижной
системы отсчета.
Переносное движение ( e ) - движение подвижной системы отсчета, рассматриваемое относительно
неподвижной системы отсчета.

Абсолютная скорость (ускорение) точки va ( aa ) - скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно
неподвижной системы отсчета.
Относительная скорость (ускорение) точки vr ( ar ) – скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно
подвижной системы отсчета.
Переносная скорость (ускорение) точки ve ( ae ) – скорость (ускорение) точки,
принадлежащей подвижной системе координат или твердому телу, с которым жестко связана подвижная
система координат,
совпадающей с рассматриваемой движущейся точкой в данный момент времени и
вычисленная относительно неподвижной системы отсчета.

Теорема о сложении скоростей – абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей точки.
В любой момент времени справедливо соотношение:

Продифференцируем это соотношение по времени имея в виду, орты i, j, k изменяют свое направление в общем случае движения
свободного тела, с которым связана подвижная система координат:

Здесь первое слагаемое (vO) - скорость полюса O;
следующие три – относительная скорость точки (vr).

Для последних трех слагаемых следует определить
производные по времени от ортов i, j, k:

Здесь использована векторная формула для
линейной скорости точки относительно оси вращения:

Подставим векторные произведения
в последние три слагаемые:

Сумма первого и последнего слагаемого – скорость точки свободного тела есть переносная скорость точки (ve):

Таким образом, с учетом того, что
производная по времени радиуса-вектора 
есть абсолютная скорость, получаем:

Модуль вектора
абсолютной скорости:

13