Презентация на тему Уравнения колебаний

поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком).

кристалле.
Поперечная волна в сетке, состоящей

Примеры колебательных процессов

и электромагнитные (электромеханические комбинации)

Для колебаний характерно превращение одного вида

примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины.

)

Fвн – внешняя растягивающая сила;
Fв

Закон Гука
Fв = – kx

одной и той же траектории туда и обратно;

ограниченность пределами

физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные

времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины имеет вид

или

в которой находится груз, называют смещением x.

Максимальное смещение

2. Параметры гармонических колебаний

.

в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц):
1

Период колебаний Т – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание

число полных колебаний за 2π секунд.
Фаза φ

Гармонические колебания являются всегда синусоидальными.
Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды.

Смещение описывается уравнением

скорость

ускорение

колебаний запишем в следующем виде:

амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия

Ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях.

и скорости υx.
то есть скорость опережает смещение на

Тогда ускорение опережает смещение на π, или

то есть, смещение и ускорение находятся в противофазе

второго закона,

сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой).

Примером сил являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу называются квазиупругими. Квазиупругая сила

где k – коэффициент квазиупругой силы.

силами:
или

Решение этого уравнения всегда будет выражение вида

Основное уравнение динамики гармонических колебаний

но
тогда

Период

той работой, которую произведет возвращающая сила

колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.
Потенциальная энергия

тяжести
Максимум потенциальной энергии,
Максимум кинетической энергии

действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в

массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью

период Т
Из второго закона Ньютона

Решение этого уравнения – гармонические колебания вида:

из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная

При отклонении маятника от вертикали, возникает вращающий момент

Уравнение динамики вращательного движения для маятника:

Момент инерции маятника

-угловое ускорение

динамики гармонических колебаний.
Решение уравнения имеет вид:
Т –

Уравнение движения маятника

под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси,

l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С.
Обозначим:

J – момент инерции маятника относит. точки подвеса O.

динамики вращательного движения
– приведенная длина физического

маятников справедливы для малых углов отклонения (меньше 15°), когда

несколькими способами:
аналитический:

графический;






геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных

диаграмм).

Ox – опорная прямая

гармоническое колебание.
Проекция кругового движения на

жидкости, возбуждаемая гармонически колеблющимся шариком.
Интерференция между двумя круговыми

одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.
Такие два колебания

колебания
φ1 – фаза 1-го колебания.


Результирующее колебание, тоже гармоническое, с

колебания:
Начальная фаза определяется из соотношения
Амплитуда А результирующего

π, то есть
Тогда
и
колебания синфазны

есть
, где

Тогда

колебания в противофазе

Это некогерентные колебания


Здесь интересен случай, называемый биениями, когда

гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

колебания с частотами ω, 2ω, 3ω, ..., называются первой

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами кратными циклической частоте ω:

эллипса с произвольно расположенными осями

прямой, проходящей через начало координат

уравнение окружности
– это уравнение эллипса с полуосями А1 и

эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.

колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на

Сила трения (или сопротивления)

где r – коэффициент сопротивления,

оси x
где kx – возвращающая сила,

Введем обозначения

)

имеет вид

– коэффициент затухания

логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период

Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз,
τ – время релаксации.

в нуль,
колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим:

на которую кроме упругой силы (– kx) и сил

– основное уравнение колебательного процесса, при вынужденных колебаниях

амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных

– амплитуда ускорения;

– амплитуда скорости;

– амплитуда смещения;

– амплитуда вынуждающей силы

Введем обозначения:

колебания не совершаются.
2)
(затухания нет). С увеличением ω (но при
),

, амплитуда

резко возрастает (

). Это явление называется

– резонанс. При дальнейшем увеличении (

)

амплитуда опять уменьшается.
3) – резонансная частота

вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к называется

С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при

Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от источника энергии

14. Автоколебания

Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями.