Презентация на тему Собственные частоты и формы колебаний при помощи MSC

как показано на рисунке:


где m - масса
k - жесткость


Уравнение движения при свободных

колебаниях (т.е. без внешней нагрузки или демпфирования) выглядит так:

или

Основные уравнения

уравнение примет вид:


где [K] - Матрица жесткости (такая же как и

в статическом анализе).
[M] - Матрица масс (представляет инерционные свойства конструкции).
Матрицы [K] и [M] должны быть вещественными и симметричными.

Запомните:
Число степеней свободы равно числу координат, необходимых для описания деформированной формы конструкции в каждый данный момент времени.

пользователю две возможности для определения матрицы масс:

Несогласованная матрица масс

(используется по умолчанию)
Содержит только диагональные члены, связанные с поступательными степенями свободы.
Согласованная матрица масс
Содержит также внедиагональные члены, связывающие поступательные степени свободы и вращательные степени свободы. (Примечание: для стержневых элементов связываются только степени свободы поступательного движения.)

Матрица масс

сечения

Несогласованная матрица масс




Согласованная матрица масс

матрица масс, в общем случае, более точная чем несогласованная

матрица масс.
Несогласованная матрица масс предпочтительнее с точки зрения скорости расчета при динамическом анализе.
Выбираются пользователем согласованные матрицы масс для элементов:
PARAM,COUPMASS,1 выбирает согласованную матрицу масс для всех элементов BAR, ROD, и PLATE которые включают в себя изгибную жесткость.
По умолчанию выбирается несогласованная матрица масс.
Элементы, которые могут иметь как согласованную, так и несогласованную матрицу масс:
BAR, BEAM, CONROD, HEXA, PENTA, QUAD4, QUAD8, ROD, TETRA, TRIA3, TRIA6, TRIAX6, TUBE

масс:
CONEAX, SHEAR
Элементы имеющие только согласованную матрицу масс:
BEND, HEX20, TRAPRG,

TRIARG
Несогласованная матрица масс содержит только диагональные компоненты, связанные с поступательным движением (без вращения).
Согласованная матрица масс содержит внедиагональные компоненты, связанные как с поступательным движением, так и с вращательным для элементов типа BAR, BEAM, и BEND.

(Физический смысл этого в том, что по всем координатам осуществляется синхронное движение и конфигурация системы не меняет свою форму во время движения, меняется только амплитуда.)
Из уравнения 6-2 получим (6-3)

i

Теория

(6-1), получим:



которое, после преобразования примет вид:
(6-4)

Это обобщенная проблема на собственные значения.

Если det ( [ K ] – w2 [

M ] ) ≠ 0 , то из уравнения (6-4) следует, что есть только одно решение:
{ f } = 0

это, так называемое, тривиальное решение, которое с физической точки зрения интереса не представляет

2. Тогда, чтобы получить нетривиальное решение относительно { f }, необходимо, чтобы:

det ( [ K ] – w2 [ M ] ) = 0

det ( [ K ] – w2 [ M

] ) = 0
или

det ( [ K ] – l [ M ] ) = 0
где l = w2

свободы с массой), то имеется N чисел w, которые

будут решением проблемы собственных значений. Эти w (w1, w2, ..., wN) и есть собственные частоты, так же известные как резонансные частоты, основные частоты и частотные характеристики.
Собственный вектор связанный с собственной частотой и называется собственной формой или формой колебаний. Собственная форма соответствует отклонению модели от состояния покоя.
Когда конструкция вибрирует, ее форма в каждый момент времени является линейной комбинацией собственных форм колебаний.

Теория (продолжение)

помещается в некоторую конструкцию, то для избежания чрезмерных вибраций

желательно проверить насколько близки его частоты вращения к собственным частотам конструкции.
Для определения динамического усиления нагрузки.
Собственные частоты и формы используются для того, чтобы знать как проводить последующий динамический анализ
(нестационарные процессы, спектральный анализ), например, если требуется выбрать подходящий временной шаг dt для интегрирования уравнения движения в нестационарном анализе.

Для чего нужно вычислять собственные частоты и формы колебаний

колебаний (продолжение)
Для использования собственных частот и форм при

последующем динамическом анализе, например, в анализе нестационарных процессов с использованием модальных методов.

Для проведения экспериментальных исследований, например, для определения местонахождения акселерометров и т. д.

колебаний
Если конструкция не полностью закреплена, например, допускается перемещение ее

как твердого тела (форма колебаний без напряжений) или механизма, то как минимум одна собственная частота будет равняться нулю.
Пример: Следующая не закрепленная конструкция может перемещаться как твердое тело.

колебаний (продолжение)
Собственные частоты (w1, w2, ...,) имеют размерность радиан/с.

Они также могут быть представлены в герцах (цикл/с), с помощью выражения

колебаний (продолжение)
Масштабирование собственных форм произвольное. Например:








представляют одну и ту

же "форму колебаний"

колебаний (продолжение)
Определение собственных частот, т. е., решение уравнения



является сложной

задачей.

Для решения этой задачи должны применяться численные методы.

к нахождению собственных значений:
Метод итераций
Собственные значения (или собственные частоты)

определяются одно за другим методом итераций. Имеются два варианта метода INV и SINV. Эти методы наиболее удобны при определении нескольких собственных частот. В общем SINV более надежен, чем INV.

Метод трансформаций
Общая проблема собственных значений

] трансформируется в трехдиагональную матрицу, с использованием методов Гивенса

или Хаусхольдера. В конце концов, все собственные значения извлекаются одновременно с использованием QR алгоритма. Имеются два варианта метода Гивенса и два варианта метода Хаусхольдера: GIV, MGIV, HOU и MHOU. Эти методы более эффективны, когда требуется определить большое количество собственных значений

комбинацией методов итераций и трансформаций. Этот метод наиболее эффективен

для расчета малого числа собственных значений в больших разреженных задачах (большинство КЭ моделей попадают в эту категорию).

CASE CONTROL
METHOD=x Номер указывающий на записи EIGR или EIGRL,

имеющиеся в секции BULK DATA. С дополнительным множителем могут быть использованы сразу несколько SUBCASE
Секция BULK DATA
EIGR Запись для нахождения собственных значений
или

EIGRL Запись для метода Ланцоша.
Требуются массовые свойства.

гравитационного эффекта)







Не конструкционная масса
Добавляет массу (пример – нагрузка на

строительное перекрытие, нагрузка на грузовой корабль)

Плотность в записях MATi, единицы = (“масса”/объем)

единицу площади в данном случае)





Сосредоточенная масса
Явные массовые свойства в

узле (CONM2) (отступ центра тяжести сосредоточенной массы от узловой точки, моменты, инерционные характеристики)

умножает входные данные для получения размерности инерции. Обычно используется

для замены весовых размерностей на массовые.

Пример:
Плотность (RHO) стали задана как 490.0 lb/ft3 в MAT1.
Используйте PARAM,WTMASS,.031056, который умножит элементы матрицы масс конструкции на 1/g (= 1/32.174 ft/sec2) для того, чтобы перевести плотность в соответствующие единицы инерции.

lb-sec2/ft (ft-lb-sec система)
кг-сек2/м

стандартный вывод генератора весов узловых точек. Он получается с

помощью задания в параметре GRDPNT целого числа, значение которого определяет номер ссылочного узла сетки. Если это число 0 или несуществующий узел, то в качестве ссылочной точки выбирается начало отсчета базовой системы координат.

PARAM,GRDPNT,0

вычисления форм колебаний конструкции как твердого тела используются специальные

подпрограммы.
Esthetics Абсолютные нулевые собственные значения вместо вычисления нулей (для всех методов кроме метода Ланцоша, где программа будет "судить": либо собственное значение должно быть 0.0, либо нет).

Cost Отдельная подпрограмма, используемая для расчета форм колебаний конструкции как жесткого тела, может значительно уменьшить время CPU

закреплений, поддерживающее все моды твердого тела
Метод Ланцоша использует вычисленные

собственные вектора

запись для расчета собственных частот
Описывает данные, необходимые для определения

собственных частот или анализа устойчивости методом Ланцоша.




Поле Содержание
SID Идентификатор (уникальное целое положительное число)

интересующий диапазон частот
Анализ устойчивости: интересующий диапазон l (V1

числа). Если нужны все формы ниже некоторой частоты, задайте V2 и оставьте поле V1 пустым. Не рекомендуется задавать 0.0 для V1 , более эффективно использовать маленькое отрицательное число или поле его пустым
ND Требуемое число корней (целое положительное число или пробел)
MSGLVL Уровень диагностики (целое число от 0 до 3 или пробел)
MAXSET Число векторов в блоке (целое число от 1 до 15 или пробел)

запись для расчета собственных частот
SHFSCL Оценка первой из собственных частот

(действительное число или пробел)
NORM Метод нормирования собственных векторов, одно из BCD значений либо "MASS", либо "MAX".
MASS Нормирование по обобщенной массе масс (по умолчанию)
MAX Нормирование по наибольшей компоненте

данных, программа будет:
Рассчитывать все корни ниже V2 (V1 =

пустое, V2 = наибольшее интересующее значение собственной частоты, ND - пробел)
Рассчитывать максимум ND корней между V1 и V2 (V1, V1, ND - заданы)
Рассчитывать ND корней выше V1 (V1 = самое низкое интересующее значение частоты, V2 = пустое, ND = требуемое число корней)
Рассчитывать первые ND корней (V1 и V2 пустые, ND = требуемое число корней).
Рассчитывать все корни между V1 и V2 (V1 = самое низкое интересующее значение частоты, V2 = наибольшее интересующее значение собственной частоты, ND = пустое)