Презентация на тему Дискретное преобразование Фурье

Дискретный периодический сигнал можно представить рядом

Фурье:


Коэффициенты этого ряда находят согласно формуле:

, получим:




Так как

, окончательно имеем:

(11.1)

дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала.

Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).
Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:


Замечание. В размещении множителя в выражении ДПФ нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.

преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям

и
с одним и тем же периодом соответствуют наборы гармоник и , то последовательности будет соответствовать спектр .
Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси отсчетами:

симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для

спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары:


Из формулы следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал.

составляющая) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на

одном периоде:


Если четное число, то


и амплитуда гармоники с номером определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками:

последовательности и

одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны и . Вычислим их круговую свертку по одному периоду:


Найдем точечное ДПФ этой свертки:



(11.2)

и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение

их спектров.
Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:
вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.1);
перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.2);
вычисление сигнала с помощью обратного ДПФ полученной последовательности .

Определим значение

, используя формулу ДПФ:





Таким образом, мощность сигнала на отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов.