Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Элементы векторной алгебры

Содержание

Вектором называется направленный отрезок.Обозначают векторы символамиили , где А- начало, а B-конецнаправленного отрезка . АВ
Элементы векторной алгебры.Лекции5-7 Вектором называется направленный отрезок.Обозначают векторы символамиили Нулевым вектором (обозначается )называется вектор, начало Векторы называютсякомпланарными, если они параллельны одной плоскости. Векторы называются Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом. Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операции сложения и Сложение векторовПравило треугольника. Правило параллелограмма Сумма нескольких векторов Вычитание векторов Разностью векторов и Свойства Умножение вектора на число Произведением вектора на Умножение вектора на число Свойства Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда Пример В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные Угол между двумя векторами Углом между векторами называетсянаименьший угол Проекция вектора на ось A AB) Линейная зависимость векторов Векторы Векторы Если векторы линейно зависимы, то один из них Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим через один из них другие : Для того чтобы два вектора были линейно независимы, Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум. Базис на плоскости и в пространстве Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора.Т. Разложение Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора.Т. Прямоугольный декартовый базис ZYXО Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность точки О и прямоугольного OXYZO OXYZO Линейные операции над векторами в координатной форме Пустьтогда:1)2)3)4) Вычисление координат вектораПусть даны точки Тогда координаты вектора равны разности координат его конца и начала: Направляющие косинусы XYZMO) ) Пусть дан вектор Координаты единичного вектора ПримерНайти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, Деление отрезка в данном отношении Пусть точка М делит отрезок АВ в некотором отношении. Тогда Деление отрезка пополам Если , то Скалярное произведение векторовСкалярным произведением векторовназывается произведение их модулей Проекция вектора на вектор Физический смысл скалярного произведения Работа постоянной силы Геометрические свойства скалярного произведения Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное Свойства скалярного произведения (продолжение) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины Свойства скалярного произведения Скалярные произведения базисных векторов Скалярное произведение в координатной форме.Если то ПримерДан вектор, причем,,уголмежду векторамииравенНайти модуль вектораРешениеТак какито Пример Найти величину угла при вершине А треугольника с вершинами Решение Изобразим треугольник ABCАВС Векторное произведение векторов Понятие «правой» тройки векторов Тройку векторов Векторным произведением векторана вектор наз. вектор Обозначение векторного произведения векторов Физический смысл векторного произведенияЕсли – сила, приложенная к Векторные произведения координатных векторов Векторное произведение в координатной форме Площадь параллелограмма С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного Площадь треугольника Геометрические свойства векторного произведения Если поменять местами сомножители, то тройка векторов станет левой и тогда Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Алгебраические свойства векторного произведенияВекторное произведение удовлетворяет ПримерНайтиеслиРешение Пример Найти площадь треугольника Смешанное произведение Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида : Смешанное произведение вычисляют по формуле Известно, что три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Условие компланарности трёх векторовЕсликомпланарны, то Элементами определителя являются координатывекторов Объём параллелепипеда Если параллелепипед построен на трех векторах как Объём тетраэдра Тетраэдр, т.е. пирамида , составляет одну шестую часть параллелепипеда и поэтому
Слайды презентации

Слайд 2
Вектором называется направленный
отрезок.

Обозначают

Вектором называется направленный отрезок.Обозначают векторы символамиили ,

векторы символами
или , где

А- начало, а B-конец
направленного отрезка .




А

В




Слайд 3 Нулевым вектором (обозначается )
называется

Нулевым вектором (обозначается )называется вектор, начало и конец которого

вектор, начало и конец
которого

совпадают.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых




Слайд 4 Векторы называются
компланарными, если они параллельны
одной

Векторы называютсякомпланарными, если они параллельны одной плоскости. Векторы называются равными,если

плоскости.
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные

длины.
Два вектора, имеющие равные длины,
коллинеарные и противоположно
направленные, наз. противоположными.



Слайд 5 Вектор, длина которого равна 1,
называется

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом.

единичным вектором или
ортом.
Ортом вектора

называется
сонаправленный ему вектор и
обозначается



Слайд 6 Линейные операции над векторами

Линейные операции над векторами

Слайд 7
Линейными операциями называют

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов

операции сложения и вычитания

векторов и умножения вектора на
число.

Слайд 8 Сложение векторов
Правило треугольника.

Сложение векторовПравило треугольника.

Слайд 9 Правило параллелограмма

Правило параллелограмма

Слайд 10 Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов

Слайд 11 Вычитание векторов
Разностью векторов

Вычитание векторов Разностью векторов и называется вектор такой, что

и называется вектор
такой, что









Слайд 12 Свойства




Свойства

Слайд 13

Слайд 14 Умножение вектора на число
Произведением вектора

Умножение вектора на число Произведением вектора на действительное число

на
действительное число

называется
вектор (обозначают ),
определяемый следующими условиями:
1. ,

2. при и при
.











Слайд 15 Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Слайд 16 Свойства





Свойства

Слайд 17

Слайд 18 Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два

Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда

ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет

место равенство

Если орт вектора , то

и тогда







Слайд 19 Пример
В треугольнике ABC сторона AB

Пример В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные

разделена на три равные части точками M и N.


Пусть , выразить вектор

через и .

Решение

А

В

С

Слайд 20 Угол между двумя векторами

Угол между двумя векторами

Слайд 21 Углом между векторами называется
наименьший угол

Углом между векторами называетсянаименьший угол

, на который
надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым.
Под углом между вектором и осью понимают угол между этим вектором и единичным вектором, расположенным на оси







Слайд 22 Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось

Слайд 23 A

A
B






)

A AB)

Слайд 24 Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов

Слайд 25 Векторы

Векторы наз-ся линейно зависимыми,

наз-ся линейно



зависимыми, если существуют числа

,не все равные 0, для

которых имеет место равенство




Слайд 26 Векторы

Векторы называются линейно

называются

линейно независимыми, если равенство



выполняется только при





Слайд 27
Если векторы линейно зависимы,

Если векторы линейно зависимы, то один из них можно

то один из них можно выразить через другие, представив

его в виде линейной комбинации этих векторов.

Слайд 28


Слайд 29 Для того чтобы векторы

Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и

были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы

один из этих векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.


Слайд 30 Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим

Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим через один из них другие :

через один из них другие :











Слайд 31 Для того чтобы два

Для того чтобы два вектора были линейно независимы, необходимо

вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они

были неколлинеарны.

Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Слайд 32
Максимальное число линейно независимых векторов

Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

на плоскости равно двум.

Максимальное число

линейно независимых векторов в пространстве равно трём.

Слайд 33 Базис на плоскости и в пространстве

Базис на плоскости и в пространстве

Слайд 34 Базисом на плоскости называют два любых

Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора.Т. Разложение

линейно независимых вектора.

Т. Разложение любого вектора


на плоскости по базису является единственным



Слайд 35 Базисом в пространстве называют три

Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора.Т.

любых линейно независимых вектора.

Т. Разложение любого вектора


в пространстве по базису
является единственным




Слайд 36 Прямоугольный декартовый базис

Прямоугольный декартовый базис

Слайд 37 Z
Y
X
О

ZYXО

Слайд 38
Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность

Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность точки О и прямоугольного

точки О и прямоугольного единичного базиса.

Прямые, проходящие в направлении базисных векторов , называются осями координат.

Слайд 39 O
X
Y
Z





O





OXYZO

Слайд 40 O
X
Y
Z





O





OXYZO

Слайд 41




Слайд 42 Линейные операции над векторами в координатной форме

Линейные операции над векторами в координатной форме

Слайд 43 Пусть

тогда:
1)

2)

3)

4)






Пустьтогда:1)2)3)4)

Слайд 44 Вычисление координат вектора
Пусть даны точки

Вычисление координат вектораПусть даны точки и АВ

и

А

В

Слайд 45
Тогда координаты вектора равны разности координат

Тогда координаты вектора равны разности координат его конца и начала: Длину вектора вычисляют по формуле

его конца и начала:


Длину вектора вычисляют по формуле

Слайд 46 Направляющие косинусы

Направляющие косинусы

Слайд 47
X
Y
Z
M
O
) )







XYZMO) )

Слайд 48 Пусть дан вектор


Пусть дан вектор

Слайд 49



Слайд 50

Слайд 51 Координаты единичного вектора

Координаты единичного вектора

Слайд 52 Пример
Найти косинусы углов, которые, вектор

ПримерНайти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).Решение.

составляет с осями координат, если А (1,2,3) и В

(2,4,5).

Решение.

Слайд 53 Деление отрезка в данном отношении

Деление отрезка в данном отношении

Слайд 54
Пусть точка М делит отрезок АВ

Пусть точка М делит отрезок АВ в некотором отношении.

в некотором отношении.

Слайд 55




Тогда

Тогда

Слайд 56



Слайд 57 Деление отрезка пополам
Если

Деление отрезка пополам Если , то

, то

, т. е. точка М –середина отрезка, имеем



Слайд 58 Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов
называется произведение

Скалярное произведение векторовСкалярным произведением векторовназывается произведение их модулей на

их
модулей на косинус

угла между
ними.

Слайд 59

Слайд 60

Слайд 61 Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор

Слайд 62 Физический смысл скалярного произведения

Работа

Физический смысл скалярного произведения Работа постоянной силы на прямолинейном участке

постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна


скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.



Слайд 63 Геометрические свойства скалярного произведения
Если векторы взаимно

Геометрические свойства скалярного произведения Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное

перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и если

скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны.


Слайд 64 Свойства скалярного произведения (продолжение)
Скалярный квадрат вектора равен

Свойства скалярного произведения (продолжение) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

квадрату его длины

Слайд 65 Свойства скалярного произведения









Свойства скалярного произведения

Слайд 66 Скалярные произведения базисных векторов

Скалярные произведения базисных векторов

Слайд 67 Скалярное произведение в координатной форме.
Если


то


Скалярное произведение в координатной форме.Если то

Слайд 68 Пример
Дан вектор
, причем
,
,

угол
между векторами
и
равен
Найти модуль вектора
Решение
Так как
и
то

ПримерДан вектор, причем,,уголмежду векторамииравенНайти модуль вектораРешениеТак какито

Слайд 69 Пример
Найти величину угла при вершине А треугольника

Пример Найти величину угла при вершине А треугольника с вершинами

с вершинами


Слайд 70 Решение
Изобразим треугольник ABC


А
В
С





Решение Изобразим треугольник ABCАВС

Слайд 71 Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Слайд 72 Понятие «правой» тройки векторов
Тройку векторов

Понятие «правой» тройки векторов Тройку векторов называют правой,

называют правой, если
направление вектора

таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
к вектору будет виден против движения часовой
стрелки.

Слайд 73 Векторным произведением вектора
на вектор наз.

Векторным произведением векторана вектор наз. вектор ,удовлетворяющий

вектор ,
удовлетворяющий

следующим условиям:

1)

2)

3)векторы образуют правую тройку









Слайд 74 Обозначение векторного произведения векторов

Обозначение векторного произведения векторов

Слайд 75 Физический смысл векторного произведения

Если

Физический смысл векторного произведенияЕсли – сила, приложенная к точке

– сила, приложенная к точке М,
то момент этой

силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов и .




O

M

Слайд 76 Векторные произведения координатных векторов

Векторные произведения координатных векторов

Слайд 77 Векторное произведение в координатной форме

Векторное произведение в координатной форме

Слайд 78 Площадь параллелограмма
С помощью векторного произведения можно

Площадь параллелограмма С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного

вычислить площадь параллелограмма, построенного на и

как на сторонах:




Слайд 79 Площадь треугольника

Площадь треугольника

Слайд 80 Геометрические свойства векторного произведения







Если поменять местами сомножители,

Геометрические свойства векторного произведения Если поменять местами сомножители, то тройка векторов станет левой и тогда

то тройка векторов станет левой и тогда

Слайд 81
Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Слайд 82 Алгебраические свойства векторного произведения
Векторное произведение удовлетворяет

Алгебраические свойства векторного произведенияВекторное произведение удовлетворяет

Слайд 83 Пример
Найти
если
Решение

ПримерНайтиеслиРешение

Слайд 84 Пример
Найти площадь треугольника

Пример Найти площадь треугольника , если известны координаты его вершин: :

, если известны координаты его

вершин:



:



Слайд 85 Смешанное произведение

Смешанным произведением трёх

векторов

Смешанное произведение Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида :

называется произведение

вида :

Слайд 86 Смешанное произведение вычисляют по формуле

Смешанное произведение вычисляют по формуле

Слайд 87
Известно, что три вектора называются компланарными, если они

Известно, что три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

лежат в одной или параллельных плоскостях.


Слайд 88 Условие компланарности трёх векторов
Если
компланарны, то
Элементами определителя являются

Условие компланарности трёх векторовЕсликомпланарны, то Элементами определителя являются координатывекторов

координаты
векторов

Слайд 89 Объём параллелепипеда
Если параллелепипед построен

Объём параллелепипеда Если параллелепипед построен на трех векторах как на

на трех векторах как на сторонах , то его

объем равен модулю смешанного произведения этих векторов:


  • Имя файла: elementy-vektornoy-algebry.pptx
  • Количество просмотров: 348
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Пародонтиты у детей
Следующая - Классицизм (11 класс)

Похожие презентации

Сфера и шар 11 класс Сфера и шар 11 класс 114
Тренажёр по математике Царевна- лягушка. 1 класс. Счёт в пределах 10 Тренажёр по математике Царевна- лягушка. 1 класс. Счёт в пределах 10 96
Метр. Соотношение единиц длины Метр. Соотношение единиц длины 138
9 санын тапкырлау. 9 га бүлү. Математика дәресенә технологик карта. 3 сыйныф (УМК Перспектива) план-конспект урока по математике (3 класс) 9 санын тапкырлау. 9 га бүлү. Математика дәресенә технологик карта. 3 сыйныф (УМК Перспектива) план-конспект урока по математике (3 класс) 129
Язык математики Язык математики 102
Пифагор Пифагор 122
Презентация урока Сложение и вычитание числа 4 презентация к уроку по математике (1 класс) Презентация урока Сложение и вычитание числа 4 презентация к уроку по математике (1 класс) 67
Тема: Развивающие игры В.В.Воскобовича презентация к уроку по математике (средняя, старшая, подготовительная группа) Тема: Развивающие игры В.В.Воскобовича презентация к уроку по математике (средняя, старшая, подготовительная группа) 40
Презентация по математикеПовторение.Умножение на 10, 100,1000 4 класс Презентация по математикеПовторение.Умножение на 10, 100,1000 4 класс 142
Изображение данных с помощью диаграмм презентация к уроку по математике (3 класс) Изображение данных с помощью диаграмм презентация к уроку по математике (3 класс) 141
Интерактивный тренажёр Помоги Печкину по теме Сложение и вычитание чисел в пределах 20 Интерактивный тренажёр Помоги Печкину по теме Сложение и вычитание чисел в пределах 20 116
О методах построения сечений О методах построения сечений 132
Натуральные числа Натуральные числа 103
Николай Николаевич Боголюбов (1909—1992)  Николай Николаевич Боголюбов (1909—1992)  152
Презентация по математике на тему Великие математики Презентация по математике на тему Великие математики 118
Построение сечений многогранников Построение сечений многогранников 169
Показательные уравнения Показательные уравнения 117
Конспект НОД Познавательное развитие план-конспект занятия по математике (старшая группа) Конспект НОД Познавательное развитие план-конспект занятия по математике (старшая группа) 133
Арифметические действия над числами Арифметические действия над числами 90
Математика. Доли. 3 класс презентация к уроку по математике (3 класс) по теме Математика. Доли. 3 класс презентация к уроку по математике (3 класс) по теме 140
m urok73 m urok73 165
Кривые второго порядка Кривые второго порядка 120
Помощь математики в ремонте Помощь математики в ремонте 207
Блок-схема для решения квадратных уравнений Блок-схема для решения квадратных уравнений 110
Презентация по математике по теме Письменное деление многозначных чисел на двузначное(4 класс) Презентация по математике по теме Письменное деление многозначных чисел на двузначное(4 класс) 150
Решение уравнений Решение уравнений 108
Тригонометрические функциичислового аргумента. Тригонометрические функциичислового аргумента. 99
учимся писать цифры презентация к уроку по математике (1 класс) по теме учимся писать цифры презентация к уроку по математике (1 класс) по теме 123
Треугольные призмы Треугольные призмы 103
Доли 4 класс Доли 4 класс 125