Презентация на тему Формулы сокращенного умножения

небольшая формула, которую я заметил в этом году. Если

говорить точнее, это закономерность между числами. Я долго интересовался тем, что это за формула, но разные люди предполагали абсолютно разные варианты. Поскольку, безусловно, эта формула связана с квадратами чисел и я не знаю, придумал ли ее кто-то до меня, я решил сделать презентацию, в которой помимо этой закономерности рассказывалось о какой-нибудь интересной теме. Так я решил создать этот научно-исследовательский проект.

говоря уже и о более старших школьниках) знает эту

формулу. Но все же для закрепления материала стоит проверить эти знания.

(x+y)²=x²+2xy+y²

Что читается, как «квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа».

встречаться сложности. К сожалению, не все ученики помнят эту

формулу, некоторые путаются, но я надеюсь, что никто из нашего класса не ошибется ни в записи, ни в формулировке.

(x-y)²=x²-2xy+y²

А читается эта формула: «Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа».

сокращенного умножения. Как оказалось, ничего страшного в этом нет!

А задавались ли вы когда-нибудь вопросом, кто же все-таки придумал эти две формулы: квадрат суммы и квадрат разности? Некоторые источники говорят, что это был древнегреческий математик Евклид. Это было действительно уникальное открытие, поскольку мы знаем, что он жил еще в III веке до нашей эры.

связанной с квадратами чисел. В следующем слайде я докажу,

почему она последняя. А пока что попытаемся вспомнить разность квадратов.

x²-y²=(x+y)(x-y)

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел.

При этом следует помнить, что множители можно менять местами.

не только по формуле, данной ранее. Их можно представить

таким видом: (x+y)²=(x+y)(x+y) и (x-y)²=(x-y)(x-y).
На основании того, что первые три формулы сокращенного умножения можно представить в виде произведения из двух многочленов, можно утверждать, что и сумму квадратов можно представить, как произведение из двух многочленов.
Но все возможные комбинации уже использованы. Квадрат суммы – это произведение сумм этих чисел, квадрат разности - произведение разностей этих чисел, а разность квадратов – произведение суммы и разности. Значит, сумму квадратов нельзя представить в виде формулы сокращенного умножения.

Но в школьном курсе не дается понятие этой формулы сокращенного умножения, потому что ее попросту не существует. А сейчас мы рассмотрим, почему.

должны также вспомнить еще один термин.


Мы рассмотрели понятия квадрат

суммы и квадрат разности ((x+y)²=x²+2xy+y² и (x-y)²=x²-2xy+y²). Так что же тогда такое неполный квадрат? Нам понадобятся неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. Неполный квадрат суммы – это x²+xy+y² (сумма квадрата первого числа, произведения первого числа на второе и второго числа), а неполный квадрат разности – это x²-xy+y² (квадрат первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа). Как мы видим, в обоих случаях вместо удвоенного произведения первого числа на второе появляется произведение первого числа на второе.

который, как я подозреваю, мало кто помнит. Время проверить

знания.

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)

Сумма кубов двух чисел равна произведению этих чисел и неполного квадрата их суммы.

похожую на предыдущую, формулу.
x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
Читается: «Разность кубов двух чисел равна

произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

сложно запомнить, но я все же надеюсь, что в

нашем классе есть ученики с хорошей памятью, что мы сейчас и проверим.

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³

Куб суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, утроенного произведения квадрата первого числа на второе, утроенного произведения первого числа на квадрат второго и куба второго числа.

формулы, изучаемой в седьмом классе.
(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-y³
Куб разности двух чисел равен

кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.

не сказать о Биноме Ньютона. Бином Ньютона – это

формула, при помощи которой можно выразить выражение (x+y)ⁿ в виде многочлена. К примеру, квадрат суммы, куб разности и.т.д. – это его частные случаи.

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Для быстрого подсчета коэффициентов был создан треугольник Паскаля. Свое название он получил в честь ученого Блеза Паскаля. Он представляет собой вершину из которой исходят две стороны. По этим сторонам идут единицы. Главная особенность этого треугольника заключается в том, что каждое число, находящееся в нем, является суммой двух других рядом стоящих чисел.

числами, которую я заметил. Сейчас мы ее рассмотрим. Для

начала сделаем небольшую таблицу из 2 столбцов и 10 строк, состоящую из последовательных натуральных чисел и их квадратов.

Самые находчивые, наверняка, уже заметили, что числовой промежуток между каждой последующей парой квадратов увеличивается на 2 и всегда является нечетным числом.

проверить эту закономерность уже с другими числами. На этот

раз мы будем подставлять отрицательные числа и ноль (стоит помнить, что все они должны быть последующими).

Значит, данная закономерность выполняется и для отрицательных чисел с нолем только немного меняется условие (если в натуральных числах промежуток увеличивался с каждой парой квадратов больших чисел, то в отрицательных числах – с каждой парой квадратов меньших чисел.

квадратов следующих друг за другом чисел больше числового промежутка

между предыдущей парой квадратов следующих друг за другом чисел на два, если соблюдается условие, что для натуральных чисел пара квадратов, из которых состоит числовой промежуток больше предыдущей им пары квадратов, а для отрицательных чисел – меньше.

Из этого следует, что зная квадраты двух следующих друг за другом чисел, можно узнать и третье, следующее за ними число.

формулы сокращенного умножения?
Сколько формул сокращенного умножения вам известно?
Является ли

сумма квадратов формулой сокращенного умножения?
Что такой неполный квадрат суммы?
Что такое неполный квадрат разности?

сокращенного умножения.
(3+x+b)²

парами.

1) a2+2ab+b2; 4) a2 – b2;
2) (a – b)2; 5) (

… )2;
3) (a + b)( … ); 6) … – 2ab + … ;

a2+2ab+b2; 4) a2 – b2;
(a – b)2; 5)(a+b) 2;
(a + b)(a-b) ; 6)a²-2ab+b²;

приведите примеры выражений с ней.