линия пересечения поверхности S с плоскостью π, a L'—проекция
этой линии на координатную плоскость Оху (рис. 173). Мы должны доказать, что линия L’ в системе Оху имеет уравнение (10). Для этой цели необходимо показать, что координаты любой точки
линии L’ на плоскости Оху удовлетворяют уравнению (10), а координаты точки плоскости Оху, не лежащей на линии L', не удовлетворяют этому уравнению. Возьмем произвольную точку М' на кривой L'. Пусть в плоскости Оху точка М' имеет
координаты (х', у'). Эта же точка в пространстве будет иметь координаты (х', у', 0). Так как точка М' лежит на кривой L', то она является проекцией некоторой точки М кривой L. Точки М и М' лежат на одной прямой, параллельной оси Oz, поэтому первые две координаты этих точек совпадают. Так как, кроме того, точка М лежит в плоскости π, то она имеет координаты (х', у', h). Точка М одновременно лежит на поверхности (1), так что F (х', у', h) = 0. Мы видим, что координаты точки М' (х’ , у') удовлетворяют уравнению (10). Возьмем, далее, произвольную точку Р' (х*у*) в плоскости Оху, не лежащую на кривой L' , и покажем, что координаты этой точки не удовлетворяют уравнению (10). Проведем через точку Р' прямую, параллельную оси Oz, и обозначим через Р точку пересечения этой прямой с плоскостью π . Так как точка Р’ в пространстве имеет координаты (х*, у*, 0), то точка Р будет иметь координаты (х*, у*, h). Но точка Р' не лежит на кривой L' , поэтому точка Р не лежит на кривой L, т. е. координаты точки Р не удовлетворяют уравнению поверхности S
F (х*, у*, h) ≠ 0.
Таким образом, мы показали, что если точка плоскости не лежит на кривой L' , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (10).
рис.173