- Главная
- Разное
- Бизнес и предпринимательство
- Образование
- Развлечения
- Государство
- Спорт
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Религиоведение
- Черчение
- Физкультура
- ИЗО
- Психология
- Социология
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Что такое findslide.org?
FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.
Обратная связь
Email: Нажмите что бы посмотреть
Презентация на тему Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Содержание
- 2. Если вы хотите участвовать в большой жизни,
- 3. Представление левой части неравенства в виде суммы
- 4. для любых действительных х и уПример 2.
- 5. 2. Метод от противногоВот хороший пример применения
- 6. Пример 5. Доказать, что для любых чисел
- 7. Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А,
- 8. для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан
- 9. для хϵRПример 7. Доказать, что для любых
- 10. Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях
- 11. Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример
- 12. для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля
- 13. Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство.
- 14. Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для
- 15. *33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним
- 16. Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство
- 17. Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое
- 18. Пусть n=2, ,
- 19. Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского
- 20. Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c
- 21. Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1,
- 22. Пример 16. Доказать, что для любых n
- 23. Скачать презентацию
- 24. Похожие презентации
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Слайд 3 Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных
слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1.
Доказать что для любого хϵRДоказательство. 1 способ.
2 способ.
для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.
для хϵR
для хϵR
для хϵR т. к.
Слайд 4
для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать,
что для любых x и y
Доказательство.
Пример 3. Доказать,
что Доказательство.
Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
Слайд 5
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного
метода.
Доказать, что
для a, b ϵ R. Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.
Ч.Т.Д.
Слайд 6 Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С
справедливо неравенство
Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для
неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения: , что является обоснованием исходного неравенства.
Слайд 7 Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С, для которых выполняется неравенство
, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Слайд 8
для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на
свойстве неотрицательности квадратного трехчлена ,
еслии .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>
Слайд 9
для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных
х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую
часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.
Слайд 10
Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х
и у.
Доказательство. Пусть ,
Это означает, что для любых
действительных у и неравенство выполняется при любых действительных х и у.
для хϵR
Слайд 11
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9.
Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.
Получаем исследуемое неравенство
Слайд 12
для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых
а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то
вернопричем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство
Слайд 13
Пример 11. Докажем, что для любых
Доказательство.
на
R.
Если , то знаки чисел
и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Слайд 14
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства
неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого
nϵNПроверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)
Слайд 15
*3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
Сравним
и
: ,Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Слайд 16
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши
– Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Слайд 17
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких
неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
, где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Слайд 18 Пусть n=2, ,
, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, ,
, , тогдаПример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Слайд 19
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает,
что для любых ; справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет
геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим Слайд 20 Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ
R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это
заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
Слайд 21
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то
для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться
для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Слайд 22 Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ
N
Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
, получим требуемое неравенство.Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.
