Презентация на тему Признаки параллелограмма

в процессе решения задач;
совершенствовать навыки решения задач.

параллелограмма
диагоналей параллелограмма
односторонних углов параллелограмма

BC=AD;

B C

О

A D

BAD
Доказать: ABE – равнобедренный

Доказательство: Т.к. ABCD
–

парал-м, значит BCǀǀAD, тогда
прямых BC и AD и секущей AE. AE – биссектриса В ABE

B Е C


А D

AE
Доказательство: AE- бисс-са <1=<2. BE – бисс-са <3=<4.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной
стороне, равна 180°, поэтому т.е. <1+<2+<3+<4 = 180°.
Т.к. <1=<2, <3=<4, то 2·(<1+<3)=180°, <1+<3=90°.
В ABE < AEB =180°-(<1+<3)=90°, т.е. ВЕ АЕ.

B 4 C
3 E
1
А 2 D

обратная теорема?
Всегда ли верно утверждение, обратное данному? Приведите примеры

ABCD – параллелограмм
Рис. 2 - Если AB=CD и BC=AD,

то ABCD – параллелограмм
Рис. 3 - Если AC BD=O и BO=OD, AO=OC, то ABCD – параллелограмм

В С


А D рис.1

В С


А D рис.2

B C

О
A D рис. 3

AE, CK – бисс-сы

Доказать: АЕǀǀСК или АЕ и СК
совпадают
Доказательство:

Т.к. ABCD- паралл-ам, то <2= лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей АЕ. В паралл-ме противолежащие углы равны, след-но, Так как <2= прямые АЕ и СК параллельны, по признаку параллельности прямых. Прямые АЕ и СК совпадут, если в параллелограмме смежные стороны равны.

В Е С
3
4

1
А 2 D

– параллелограмм,
ВК АС, DM АС
Доказать: BMDK –

параллелограмм
Доказательство:
BKC= DMA по гипотенузе и
острому углу (при параллельных прямых AD и BC и секущей АC,
BC=AD как противолежащие стороны паралл-ма, ВKC= DMA
прямоугольные), значит MD=BK.
ВМК= DKM – прямоугольные, BMK = DKM по двум катетам (MD=BK, KM- общий катет), значит BM=DK.
В четырехугольнике BMDK противолежащие стороны равны (MD=BK и BM=DK), следовательно BMDK – параллелограмм.

В С
М

К

А D

Дано: ABCD – паралл-ам
М – середина ВС, N –

середина AD
Доказать: AMCN – параллелограмм


В M С



А N D

2. В треугольнике ABC медиана АМ продолжена за точку М до точки D на расстояние, равное AM, так, что AM=MD. Докажите, что ABDC - параллелограмм

Вариант 2.
Точки K, L, M и N – середины соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK – параллелограмм.

В L C
K M

A N D

На сторонах AB, ВC, CD и AD
параллелограмма ABCD взяты
соответственно точки M, N, K, L,
делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – параллелограмм.