Слайд 2
Соотношение неопределённостей
Установление волновых свойств частиц привело к необходимости
пересмотра применимости к ним принципов классической механики, т.к. в
классической механике волновые и корпускулярные свойства являются несовместимыми
Один из основных результатов такого пересмотра заключается в том, что нельзя говорить о движении частицы по определённой траектории и о том, что частица имеет определённые координаты и импульс
Слайд 3
Соотношение неопределённостей
Можно говорить лишь о том, что координаты
и импульс частицы с некоторой вероятностью попадают в определённый
интервал значений. Причём оказывается, что чем точнее мы можем определить значение координат, тем больше неопределённость импульса и наоборот
Слайд 4
Соотношение неопределённостей
Указанные соображения были сформулированы В. Гейзенбергом в
виде соотношений неопределённости между координатами и проекциями импульса:
ΔxΔpx≥h, ΔyΔpy≥h,
ΔzΔpz≥h, (1)
Существует аналогичное соотношение неопределённости для энергии и времени:
ΔEΔt≥h, (2)
Слайд 5
Взаимосвязь классической и квантовой физики
Классическая физика является предельным
случаем квантовой. Она справедлива в пределе больших масс и
энергий. Это становится ясным если записать (1) в виде:
ΔxΔvx≥h/m
Для пылинки массой 10-12 кг, при неопределённости Δх=10 нм, неопределённость её скорости составляет порядка 10-14 м/с. Эта неопределённость тем меньше сказывается на движении частицы, чем больше её скорость
Слайд 6
Основы квантовой физики
В квантовой физике возникает задача определения
вероятности обнаружения заданных значений координат и импульсов. Таким образом
возникает необходимость статистической трактовки характеристик механической системы и её движения
Это делается на основе представлений о волновой функции
Слайд 7
Основы квантовой физики
Физический смысл имеет квадрат модуля амплитуды
волны де Бройля
Квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в
данной точке является мерой вероятности того, что частица будет обнаружена в этой точке
Волновая функция Ψ(x,y,z,t) определяет зависимость амплитуды волны де Бройля от координат и времени
Слайд 8
Основы квантовой физики
Вероятность dω того, что частица находится
в объёме dV определяется выражением:
dω=lΨl2 dV (3)
Волновая функция является
комплексной. Квадрат её модуля определяется произведением самой функции на комплексно сопряжённую величину:
lΨl2=ΨΨ* (4)
Слайд 9
Основы квантовой физики
Квадрат модуля волновой функции имеет смысл
плотности вероятности пребывания частицы в данной точке пространства
Условие нормировки
волновой функции заключается в том, что полная вероятность обнаружения частицы во всём пространстве должна быть равна единице
(5)
Слайд 10
Основы квантовой физики
Волновая функция является основной характеристикой состояния
системы в квантовой механике. С её помощью можно вычислять
средние значения физических величин
Сами физические величины в квантовой механике представляются математическими операторами
Слайд 11
Основы квантовой физики
Чтобы посчитать среднее значение величины Х
в состоянии системы которое описывается волновой функцией Ψ надо
взять интеграл по всей области изменения аргументов Ψ из произведения Ψ на функцию, получающуюся при действии оператора величины Х на функцию Ψ*:
(6)
Слайд 12
Основы квантовой физики
Усреднять можно и по ограниченному объёму.
Тогда в (6) надо подставлять соответствующие пределы интегрирования
Если волновая
функция зависит от координат частицы, то говорят, что она записана в координатном представлении
В этом случае операторами координат будут соответствующие им переменные x,y и z
Слайд 13
Основы квантовой физики
Среднее значение координаты х, например, будет
находиться по формуле:
Проекции импульса на ось х будет соответствовать
оператор:
где i – мнимая единица, ħ=h/2π
Слайд 14
Основы квантовой физики
Если волновая функция зависит от импульсов
частицы, то говорят, что она записана в импульсном представлении
В
этом случае операторами проекций импульсов будут соответствующие им переменные px,py и pz, а координаты будут представляться дифференциальными операторами
Слайд 15
Уравнение Шредингера
Подобно уравнению движения в классической механике в
квантовой механике существует уравнение относительно волновых функций, решая которое
можно найти сами волновые функции. Оно называется уравнением Шредингера и имеет вид:
(7)
Слайд 16
Уравнение Шредингера
Уравнение (7) справедливо для нерелятивистской частицы массой
m, находящейся в потенциальном поле U
Δ - это оператор
Лапласа
Решением уравнения (7) является волновая функция в координатном представлении
Слайд 17
Уравнение Шредингера
Первое слагаемое в правой части (7) можно
представить как результат последовательного действия на Ψ двух операторов
импульса и деления на удвоенную массу частицы
Это слагаемое можно интерпретировать как действие оператора кинетической энергии частицы
Слайд 18
Уравнение Шредингера
Состояние системы многих частиц будет описываться волновой
функцией, зависящей от координат всех частиц
Уравнение Шредингера для системы
многих частиц будет содержать сумму операторов кинетической энергии каждой частицы, и оператор потенциальной энергии описывающий взаимодействие частиц
Слайд 19
Уравнение Шредингера
Мы видим, что в правой части (7)
стоит сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому уравнение
Шредингера можно рассматривать как операторную запись закона сохранения энергии
В тех случаях, когда энергия системы сохраняется с течением времени, говорят, что её состояние стационарно. Тогда волновую функцию можно упростить выделив множитель, явно зависящий от времени:
Ψ(x,y,z,t)= ψ(x,y,z)exp(-iEt/ħ) (8)
Слайд 20
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера в стационарном случае так же
будет иметь более простой вид:
где Е – полная энергия
системы
Уравнение Шредингера нельзя вывести из других соотношений, оно постулируется. Его правильность подтверждается согласием предсказаний теории с данными экспериментов
В настоящее время не известно отступлений от законов квантовой механики
Слайд 21
Теория атома водорода
Предложенная в начале 20 века теория
строения атома находилась в противоречии с классической физикой, согласно
которой электроны, движущиеся ускоренно вокруг атомных ядер, должны терять энергию на излучение
Разрешил это противоречие Н. Бор, который ввёл постулаты, ограничивающие движение электронов в атомах
Слайд 22
Постулаты Бора
Согласно первому постулату Бора у атома должны
существовать стационарные состояния, находясь в которых он не излучает
энергию
Второй постулат Бора утверждает, что в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите (радиуса r) должен иметь квантованные значения момента импульса Ln,удовлетворяющие условию:
Ln≡mvr=nħ, n=1,2,3,… (9)
Слайд 23
Постулаты Бора
Третий постулат Бора устанавливает, что при переходе
атома из одного стационарного состояния в другое испускается или
поглощается квант энергии. Энергия этого кванта равна разности энергий начального и конечного состояний атома:
ΔW=hν
Слайд 24
Теория атома водорода
На основе постулатов Бора оказалось возможным
объяснить наблюдавшиеся закономерности спектров атома водорода, согласно которым атом
водорода поглощает и излучает фотоны с частотой:
(10)
где n и m – целые числа, R – постоянная Ридберга
Слайд 25
Строение атома
Результаты, полученные Бором, можно так же получить
решая уравнение Шредингера для атома водорода. Это одна из
немногих задач квантовой физики, позволяющая найти точное решение
Для более сложных систем невозможно найти точное аналитическое решение поэтому используют различные приближённые методы
Слайд 26
Строение атома
Одним из способов расчёта атомных волновых функций
является нахождение одноэлектронных волновых функций в потенциальном поле, создаваемом
ядром и остальными электронами
Значение теории Бора состоит в том, что она позволяет установить основные закономерности электронного строения атома
Слайд 27
Строение атома
Уравнению Шредингера с центральносимметричным потенциалом U (как
в атоме) удовлетворяют волновые функции ψnℓm характеризуемые тремя квантовыми
числами n, ℓ, и mℓ
Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электронов в атоме. Оно может принимать значения: 1,2,3,…
Слайд 28
Строение атома
Орбитальное квантовое число ℓ определяет возможные значения
момента импульса частицы. Оно может принимать значения: 0,1,2,…,(n-1)
Магнитное квантовое
число mℓ определяет значение проекции момента импульса на заданное направление. Оно может принимать значения: 0,±1,±2,…,±ℓ
Слайд 29
Строение атома
В атоме водорода из-за особенностей потенциала энергии
состояний с различными значениями ℓ и mℓ при одинаковых
n оказываются равными. Это свойство называют орбитальным вырождением электронных состояний. Т.о. энергия атома водорода определяется только главным квантовым числом
В многоэлектронных атомах энергия состояния зависит так же и от ℓ
В отсутствие внешних полей энергия электронных состояний атома не зависит от mℓ
Слайд 30
Строение атома
При наложении внешнего электрического поля происходит расщепление
электронных уровней с разными значениями магнитного квантового числа. Это
явление называется эффектом Штарка
Аналогичное явление наблюдается в магнитном поле. Оно называется эффектом Зеемана
Слайд 31
Строение атома
В 1922 г. О. Штерном и В.
Герлахом было обнаружено, что электрон обладает собственными состояниями, характеризуемыми
спиновым квантовым числом, которое может принимать значения ±½
Таким образом одноэлектронные атомные состояния характеризуются четырьмя квантовыми числами
Слайд 32
Строение атома
Согласно принципу Паули несколько электронов не могут
занимать одно состояние. Вследствие этого в атомах с увеличением
числа электронов происходит заполнение электронных состояний начиная с состояния, имеющего наименьшую энергию
