Презентация на тему Алгебра логики

нашей эры древнегреческий ученый и философ Аристотель (Ἀριστοτέλης) пытался

найти ответ на вопрос “Как мы рассуждаем”, изучал правила мышления. Он впервые дал систематическое изложение логики, подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

(Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716) начал развивать идею формализации

логики, размышляя о ее переводе "из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно". Лейбниц мечтал создать особый язык для выражения мыслей в чистом виде - lingua mentalis, с помощью которого можно было бы математически строго выразить любую мысль. При этом он уделял особое внимание двоичной системе счисления, считая ее основой основ для любого счета.

теории информации, нашедшей применение в современных высокотехнологических системах связи.

Шеннон внес огромный вклад в теорию вероятностных схем, теорию автоматов и теорию систем управления — области наук, входящие в понятие кибернетика.

и логик. Не имея специального математического образования, в 1849

стал профессором математики в Куинс-колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Д. Буля почти в равной мере интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона.

об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут

выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.).

мышления
Формы мышления
понятие
суждение
(высказывание,
утверждение)
умозаключение

предмета или класса предметов, отличающие его от других.
Понятие

выражается одним или несколькими словами.
Понятие имеет две стороны: содержание и объем.

Например: треугольник, компьютер, персональный компьютер, стол, дом и т.п.

отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между

предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются.
Суждения рассматриваются не с точки зрения их смысла и содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных объектов. "Дважды два равно четырем" - истинное суждение, а вот "Процессор предназначен для печати" - ложное. Суждения могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, и грачи прилетели" - сложное суждение, состоящее из двух простых.

Число 6 – чётное.

Да
2. Посмотрите на доску.
Нет
3. Все роботы являются машинами.
Да

У каждой лошади есть хвост.

Да
5. Внимание!
Нет
6. Кто отсутствует?
Нет

двух посылок:
Посылка: все

буквы - знаки.
Посылка: «А» - это буква.
Заключение: буква «А» - это знак.

Пример 2:заключение на основании трех посылок:
Посылка: Буква – это часть слова.
Посылка: Слово – часть предложения.
Посылка: Предложение – часть текста.

Заключение: буква «А» - это текста.

Умозаключение

фигуры»

«Некоторые геометрические фигуры - квадраты»

один факт – истинно или ложно данное высказывание, что

дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

буквами:
А= {Аристотель – основоположник

логики};
В= {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0.
Таким образом, А=1, В=0.

союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции.
Логические

операции задаются таблицами истинности и могут быть проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

обозначение &;
в языках программирования обозначение And.
Конъюнкция – это логическая

операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)

Таблица истинности
А В

А&В
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

В АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ КОНЪЮНКЦИИ СООТВЕТСТВУЕТ ОПЕРАЦИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ, Т.Е. МНОЖЕСТВУ ПОЛУЧИВШЕМУСЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ УМНОЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ А И В СООТВЕТСТВУЕТ МНОЖЕСТВО, СОСТОЯЩЕЕ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ОДНОВРЕМЕННО ДВУМ МНОЖЕСТВАМ.  

Диаграмма Эйлера-Венна

обозначение V;
в языках программирования обозначение Or.
Дизъюнкция – это логическая

операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)

Т.Е. МНОЖЕСТВУ ПОЛУЧИВШЕМУСЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ СЛОЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ А И

В СООТВЕТСТВУЕТ МНОЖЕСТВО, СОСТОЯЩЕЕ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ЛИБО МНОЖЕСТВУ А, ЛИБО МНОЖЕСТВУ В.  

Таблица истинности
А В АVВ
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

 

Диаграмма Эйлера-Венна

частице не;
в алгебре высказываний обозначение Ā;
в языках программирования обозначение

Not.
Отрицание – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание)

Таблица истинности
А Ā

0 1
1 0

В АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ ЛОГИЧЕСКОМУ ОТРИЦАНИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ОПЕРАЦИЯ ДОПОЛНЕНИЯ ДО УНИВЕРСАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА, Т.Е. МНОЖЕСТВУ ПОЛУЧИВШЕМУСЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОТРИЦАНИЯ МНОЖЕСТВА А СООТВЕТСТВУЕТ МНОЖЕСТВО , ДОПОЛНЯЮЩЕЕ ЕГО ДО УНИВЕРСАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА.  

Диаграмма Эйлера-Венна

…;
обозначение →.
Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие

каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (1-ое высказывание) истинно, а следствие (2-ое высказывание) ложно.

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование)

Таблица истинности
А В А→В
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

только тогда; в том и только в том случае;
обозначение

↔, ~.
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность)

Таблица истинности
А В А↔В
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

скобках;
инверсия (отрицание);
&;
V;
→;
↔.

(1 v O);
б) ((1 v O) v 1)

v 1;
в) (0 v 1) v (1 v 0);
г) (0 & 1) & 1;
е) ((1 v O) & (1 & l)) & (O v 1);
ж) ((1&O) v (1&O)) v 1;
з) ((1&1) v O) & (O v 1);
и) ((0&0) v0) & (1 v 1).
 
2. Даны два простых высказывания:
А = {2 • 2 = 4}, В = {2 •  2 = 5}.
Какие из высказываний истинны:
а) А;     б) В; в) А&В;     г)AvB ; д) ¬A; е) A ^ В; ж) А ^ ¬В?
 
3.  Даны простые высказывания:
А = {Принтер — устройство ввода информации},
В = {Процессор — устройство обработки информации},
С = {Монитор — устройство хранения информации},
D = {Клавиатура — устройство ввода информации}.
Определите истинность высказывания: (A & B) & (C v D).   

Повторение по теме «Дизъюнкция, конъюнкция, отрицание»

снег» и В = «нужно надеть шапку».
Составьте высказывания: а)

А=>B, б) B=>A, которые будут принимать ложные значения.
 
2. Даны истинные высказывания А = «Карлсон хочет варенье» и В = «Карлсон летает на свежем воздухе». Составьте истинные высказывания вида A <=> B.
 
3. Даны простые высказывания:
А = {Принтер — устройство ввода информации},
В = {Процессор — устройство обработки информации},
С = {Монитор — устройство хранения информации},
D = {Клавиатура — устройство ввода информации}.
Определите истинность составных высказываний:
а) (AvB) <=> (C&D);   б) А↔ В.
 
4. Даны простые высказывания:
А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}.
Определите истинность составных высказываний
a) (A v B) & C => (A & C) v (B & C); б) (A & B) v C ↔  (A v C) & (A &B ).

Повторение по теме
«Импликация и эквивалентность»

этого простые логические высказывания нужно обозначить как логические переменные

буквами и связать их с помощью знаков логических операций. Такие формулы называются логическими выражениями. Например:




Чтобы определить значение логического выражения необходимо подставить значения логических переменных в выражение и выполнить логические операции. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:      1. инверсия;      2. конъюнкция;      3. дизъюнкция;      4. импликация и эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения

при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий:
1) записать выражение и определить порядок выполнения операций
2) определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение (определяется по формулеQ=2n , где n - количество входных переменных)
3) определить количество столбцов в таблице истинности (= количество логических переменных + количество логических операций)
4) построить таблицу истинности, обозначить столбцы (имена переменных и обозначения логических операций в порядке их выполнения) и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.
5) заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности
Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Таблицы истинности

переменных в заданном выражении равно трем (A,B,C). Значит, количество

входных наборов, а значит и строк Q=23=8. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции). Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A,B,C, промежуточных результатов и (B V C), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения

и y формула принимает значение 1, то есть является

тождественно истинной.

и y формула принимает значение 0, то есть является

тождественно ложной.

а в некоторых — 0, то есть является выполнимой.