Презентация на тему по математике на тему: Теория вероятности в заданиях ЕГЭ

окончится случайный опыт.
Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.
Р(А)

равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.
А ⋃ В (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В
А ⋂ В (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.
Ā называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.
Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

событию А исходов
п – число всех элементарных равновозможных исходов

вероятностей совместных событий:
P(A+B) = P(A) + P(B)
P(A+B) = P(A)

+ P(B) – Р(АВ)

одного из них не изменяет вероятность появления другого.
События называются зависимыми,

если одно из них влияет на вероятность появления другого. 

вероятностей независимых событий:
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

P(A ⋅ B)

= P(A) ⋅ P(B/A),
P(A ⋅ B) = P(B) ⋅ P(A/B).

P(A/B) – условная вероятность события A при условии,
что произошло событие B,
P(B/A) – условная вероятность события B при условии,
что произошло событие A.

Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и

третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках;
3) во всех трех справочниках.

Задача 1.

Решение:

А = {формула содержится в первом справочнике};
В = {формула содержится во втором справочнике};
С = {формула содержится в третьем справочнике}.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

+ АВС + АВС) =
Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС)

=

Р(А) = 1 – 0,6 = 0,4 Р(В) = 1 – 0,7 = 0,3 Р(С) = 1 – 0,8 = 0,2

= 0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,2 +

0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,2 +

0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,8 =

0,188

2). Р(АВС + АВС + АВС) =

Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) =

= 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,2 +

0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,8 +

0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,8 =

0,452

3). Р(АВС) =

Р(А) ∙ Р(В) ∙ Р(С) =

0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 =

0,336

Ответ: 1). 0,188; 2). 0,452; 3). 0,336.

По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две

таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.

Решение:

А = {батарейка бракованная};

А = {батарейка исправная}

Р(А) = 0,06

Р(А) = 1 – 0,06 = 0,94

Р(АА) =

Р(А) ∙ Р(А) =

0,94 ∙ 0,94 =

0,8836

Ответ: 0,8836

номер окан­чи­ва­ет­ся двумя чётными циф­ра­ми?
Решение:
А = {последняя цифра номера телефона

– четная};

В = {предпоследняя цифра номера телефона – четная}

Р(А) = 0,5

Р(В) = 0,5

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) =

0,5 ∙ 0,5 =

0,25

Ответ: 0,25

боль­ше года, равна 0,93. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит

боль­ше двух лет, равна 0,87. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Решение:

A = {чай­ник про­слу­жит боль­ше года, но мень­ше двух лет},

В = {чай­ник про­слу­жит боль­ше двух лет},

С = {чай­ник про­слу­жит ровно два года},

тогда A + B + С =  {чай­ник про­слу­жит боль­ше года}.

Со­бы­тия A, В и С не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия С, со­сто­я­ще­го в том, что чай­ник вый­дет из строя ровно через два года — стро­го в тот же день, час и се­кун­ду — равна нулю.

усло­вия, по­лу­ча­ем
 
0,93 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти имеем:
 
P(A) = 0,93 − 0,87 = 
Ответ: 0,06.
0,06

ав­то­бус.
Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся

мень­ше 18 пас­са­жи­ров, равна 0,82. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 10 пас­са­жи­ров, равна 0,51. Най­ди­те
ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 10 до 17.

Решение:

A = {в ав­то­бу­се мень­ше 10 пас­са­жи­ров},

В = {в ав­то­бу­се от 10 до 17 пас­са­жи­ров},

Тогда A + B = {в ав­то­бу­се мень­ше 18 пас­са­жи­ров},

Р(А) = 0,51

Р(А + В) = 0,82

Р(В) = ?

Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

0,82 = 0,51 + P(В), от­ку­да P(В) = 0,82 − 0,51 =

Ответ: 0,31.

0,31

он
вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если

А.
иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур.
Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

Решение:

A = {шахматист А. выигрывает белыми фигурами},

В = {шахматист А. выигрывает чёрными фигурами}.

Р(А) = 0,5

Р(В) = 0,3

Воз­мож­ность вы­иг­рать первую и вто­рую пар­тию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей:

Р(АВ) = 0,5 ∙ 0,3 =

0,15

Ответ: 0,15.

по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те

ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся.
Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

A = {биатлонист попал в мишень},

Решение:

Р(А) = 0,8

A = {биатлонист промахнулся},

Р(А) = 1 – 0,8 = 0,2

События по­пасть или про­мах­нуть­ся при каж­дом вы­стре­ле
не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей.

Р(ААААА) =

0,8 ∙ 08 ∙ 08 ∙ 02 ∙ 02 =

0,02048

 0,02

Ответ: 0,02.

пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность

того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

Решение:

перегорит

перегорит

перегорит

перегорит

не перегорит

не перегорит

не перегорит

не перегорит

A = {перегорели обе лампы},

A = {не перегорела хотя бы одна лампа},

Р(А) = ?

Р(А) = 0,3 ∙ 0,3 =

0,09

Р(А) = 1 – 0,09 =

0,91

Ответ: 0,91.

хо­ро­шая и
от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся
не­из­мен­ной

весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что
6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

Решение:

х

х

х

х

х

х

х

о

х

о

о

о

о

о

о

о

Р(ххо) =

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 =

0,128

Р(хоо) =

0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8 =

0,128

Р(охо) =

0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 =

0,008

Р(ооо) =

0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8 =

0,128

Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные 

P = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =

0,392

У жителя А. волшебной страны бывает два типа настроения:

прекрасное и замечательное, причём настроение, установившись утром , держится неизменным весь день. Известно , что с вероятностью 0,8 настроение жителя А. завтра будет таким же , как и сегодня. Сегодня 10 апреля, настроение жителя А прекрасное . Найдите вероятность того, что 13 апреля у жителя А. настроение будет замечательным ?

Решение:

п

п

п

п

п

п

п

з

п

з

з

з

з

з

з

з

Р(ппз) =

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 =

0,128

Р(пзз) =

0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8 =

0,128

Р(зпз) =

0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 =

0,008

Р(ззз) =

0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8 =

0,128

Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные 

P = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =

0,392

настоящий момент без учета текущего возраста для жителя Японии

составляет 16%, Китая – 10%, Индии – 6%. Какова вероятность, что хотя бы один из однокурсников Аристарха Лукова – Арбалетова – японец, китаец и индус доживет до 100 лет, если после обучения в России вернутся в родные страны?

Решение:

A = {японец доживет до 100 лет},

Р(А) = 0,16

В = {китаец доживет до 100 лет},

Р(В) = 0,1

С = {индус доживет до 100 лет},

Р(С) = 0,06

Р(А) = 0,84

Р(В) = 0,9

Р(С) = 0,94

Р(А ⋃ В ⋃С) =

1 – Р(А ⋂ В ⋂С) =

1 – 0,84 ∙ 0,9 ∙ 0,94 =

0,28963

Ответ: 0,28963

Если хотя бы один спортсмен заболеет, то команда не

выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника команды составляет 0,1, для второго – 0,2, для третьего – 0,3, для четвертого – 0,4. Какова вероятность того, что команда бобслеистов не выйдет на старт?

Решение:

A = {заболел первый участник},

Р(А) = 0,1

В = {заболел второй участник},

Р(В) = 0,2

С = {заболел третий участник},

Р(С) = 0,3

D = {заболел четвертый участник},

Р(D) = 0,4

Р(А) = 0,9

Р(B) = 0,8

Р(C) = 0,7

Р(D) = 0,6

Р(А ⋃ В ⋃С ⋃D) =

1 – Р(А ⋂ В ⋂С ⋂D) =

= 1 – 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 ∙ 0,6 =

0,6976

Ответ: 0,6976