Презентация на тему Основы теории вероятностей или случайные события (лекция 1)

и тех же n элементов, различающиеся только их порядком
Пример.

Перестановки из трёх карточек – жёлтой, красной и синей




Размещения – комбинации, состоящие из n возможных элементов, взятых по m штук, и различающиеся либо порядком расположения элементов, либо составом элементов (либо и тем, и другим)
Пример. Размещение двух карточек из четырёх возможных (n=4, m=2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 

Число размещений из n по m

Число сомножителей = числу мест = m

Число сомножителей (включая 1)= числу мест = n

-0 -1 -2 -(m-1)

n типов элементов, взятых по m штук
Пример. Размещения из

3 типов карточек по две (n=3, m=2)




Сочетания – комбинации, состоящие из n возможных элементов, взятых по m штук, которые различаются между собой хотя бы одним элементом (без учёта порядка элементов!)
Пример. Сочетания из 3 карточек по 2 карточки (n=3, m=2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

Число размещений из n по m с повторением

Число сомножителей = числу мест = m

1 2 3

 

Число сочетаний из n по m

Так как порядок не важен, число размещений из n по m делим на число перестановок из m элементов

вид теоремы умножения вероятностей
Пример. В ящике лежат 6 шаров:

3 чёрных и 3 белых. Найти вероятность появления белого шара вторым, если первым был вытянут чёрный шар.
Событие A – появление чёрного шара . P(A)=1/2
Событие B – появление белого шара.
Возможных размещений из 6 шаров по 2 (элементарных исходов) 6!/(6-2)!=5*6=30.
Из них благоприятствующими появлению белого шара являются 3*3=9 исходов.
Значит, P(AB) = 9/30. PA(B)=9/30:1/2=9/15=3/5

события)
Задача 1.
Чему равна вероятность того, что при бросании трёх

игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из них?
Решение
Рассчитаем вероятность невыпадения 6 очков ни на одной кости. Число элементарных исходов, благоприятствующих такому событию - 5*5*5 = 125, общее число элементарных исходов – 6*6*6=216. Вероятность = 125/216. Значит, вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки = 1-125/216=91/216.
Задача 2.
Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в десятку, равна 0.6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0.8 он попал в десятку хотя бы один раз?
Решение
Вероятность непопадания стрелка в десятку при каждом выстреле – 0.4. Запишем неравенство: 0.8≤1-0.4n, где n – количество выстрелов. 0.4n≤0.2, значит, должно быть равно как минимум 2 (0.4*0.4=0.16).

10 деталей, из них 2 бракованные. Какова вероятность, что

при случайном извлечении 6 деталей среди них окажется не более одной бракованной?
Решение
«Не более одной бракованной» эквивалентно двум событиям – «Не окажется ни одной бракованной» (A) и «Окажется ровно одна бракованная» (B). P(A)=C86/C106 сколькими способами можно выбрать 6 небракованных деталей из 8 возможных / сколькими способами можно выбрать 6 деталей из 10 возможных
P(B)= 2*C85/C106 сколькими способами можно выбрать 5 небракованных деталей из 8 возможных / сколькими способами можно выбрать 6 деталей из 10 возможных (домножение на 2, так как может попасться 1я или 2я брак.деталь)
C86/C106=(8!/6!*2!)/(10!/6!*4!)=28/210=4/30
2*C85/C106=2*(8!/5!*3!)/(10!/6!*4!)=2*56/210=2*8/30=16/30
4/30+16/30=20/30=2/3

первым стрелком равна 0.8, а вторым стрелком – 0.6.

Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.
Решение
Цель может поразить либо первый, либо второй стрелок, значит, интересующее нас событие разбивается на два: первый точен, второй – нет, и наоборот (при этом нам абсолютно всё равно, какой из двух вариантов случится). Для первого случая P1 = 0.8*(1-0.6)=0.8*0.4=0.32, для второго случая P2=0.6*(1-0.8)=0.6*0.2=0.12.
По формуле сложения вероятностей вероятности этих несовместных событий можно сложить, то есть вероятность поражения цели только одним стрелком равна 0.44.