Презентация на тему Декартовы произведения

b=y.
Доказательство
Из (a; b)=(x; y) следует {{a};{a; b}}={{x};{x; y}}.
Равенство

двух двухэлементных множеств возможно лишь при равенстве составляющих их элементов. Здесь возможны два случая:
1) {a}={x}, {a; b}={x; y} или
2) {a}={x, y}, {a; b}={x}.

В первом случае из равенства {a}={x} следует а=х, а из второго равенства

и того, что а=х, следует у=в, что и требовалось доказать.

Во втором случае из равенства {a}={x, y} следует а=х=у, а из равенства {a; b}={x} следует х=а=в. В частности, а=х и в=у. Теорема доказана.

n называются также упорядоченными n-ками, векторами, кортежами.
Теорема 2
.

Доказательство
Индукция по

n.
При n=2 это есть теорема 1. Допустим, утверждение верно при n=k, то есть допустим, что из равенства

следует

.

Это можно переписать по определению следующим образом:

По теореме 1 из равенства пар вытекает
и
По индуктивному предположению получаем

Определение 3
Декартовым произведением множеств А и В называется множество

В х А={(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}.
Очевидно, что, вообще говоря,

Определение 4
а) Множество

 – декартово произведение n множеств;
б)

- (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества А;

в)

.
Установим связь между декартовыми произведениями и ранее введенными теоретико-множественными операциями.

в)

;
б) ;
в) .
Доказательство
а) Возьмем

Следовательно,

.

а в одном месте стоит всего импликация, мы доказали

включение
Необходимо доказать включение в другую сторону.
Возьмем

Следовательно,

.

а В – из n элементов, тогда А х В

состоит из m х n элементов.
Доказательство
Доказываем индукцией по числу n-элементов множества В.
При n=1 имеем , поэтому , то есть A х B имеет m = m х 1 элементов.
Допустим, теорема верна при n=k. И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть

где

.
Тогда

.