6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … –
ряд натуральных чисел N или (Z+)
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z–
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)
FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.
Email: Нажмите что бы посмотреть
a – делимое
b – делитель
q – частное
a : b = q
Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.
Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.
3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.
Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3,
то (48 + 52) не делится на 3.
Свойства делимости
Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.
Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).
6о Если a ⋮ b и с N, то ac ⋮ bc, и наоборот.
Пример: 48 ⋮ 12 и 11 N, то
(48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.
Свойства делимости
Пример: 48 ⋮ 3 и 13 N, то (48∙13) ⋮ 3.
Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.
9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.
Свойства делимости
Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).
Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.
На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.
Пример: 56730 ⋮ 10.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.
Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.
На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.
Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.
На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.
Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.
Признаки делимости
Для того чтобы натуральное число делилось
На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).
Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.
Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720
2! = 1 ∙ 2 = 2
1! = 1
0! = 1
Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.
q – неполное частное
r – остаток
Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.
Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.
Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.
Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа
Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.
Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Делители числа 96:
Среди них есть одинаковые:
Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.
Найти НОД чисел: 72 и 96.
НОД (72; 96) = 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24
Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.
Кратные числа 18:
Среди них есть одинаковые:
Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.
Найти НОК чисел: 12 и 18.
НОК (12; 18) = 36
36, 72, 108, 144, …
2
2
2
2
3
3
7
7
7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1
7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
НОД (3780; 7056)=
= 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252
НОК (3780; 7056)=
= 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
= 105840
Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.
Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);
6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).
Пример (1 способ):
–
Пример (2 способ):
Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.
0,1234567891011121314…
π ≈ 3,1415926535897932…
е ≈ 2,7182818284590452…
√11 ≈ 3,31662479035539…
Примеры: