Презентация на тему Граф и его элементы

X) НАЗЫВАЕТСЯ ПАРА ДВУХ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ: МНОЖЕСТВО ТОЧЕК И

МНОЖЕСТВО ЛИНИЙ, СОЕДИНЯЮЩИХ НЕКОТОРЫЕ ПАРЫ ТОЧЕК.

ВПЕРВЫЕ ПОНЯТИЕ «ГРАФ» ВВЕЛ В 1936 г. ВЕНГЕРСКИЙ МАТЕМАТИК ДЕННИ КЁНИГ. НО ПЕРВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ ПРИНАДЛЕЖАЛА ПЕРУ ВЕЛИКОГО ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА И БЫЛА НАПИСАНА ЕЩЕ В 1736 г.

РЕБРАМИ ГРАФА.
ПРИМЕРЫ ГРАФОВ

ГОВОРЯТ, ЧТО ЭТО РЕБРО ИМ ИНЦИДЕНТНО. ДВЕ ВЕРШИНЫ ГРАФА

НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ИНЦИДЕНТНОЕ ИМ РЕБРО.

НА РИСУНКЕ СМЕЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕРШИНЫ A и B, A и C ; СМЕЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ РЕБРА c и d, a и b.

ЕСЛИ ГРАФ ИМЕЕТ РЕБРО, У КОТОРОГО НАЧАЛО И КОНЕЦ СОВПАДАЮТ, ТО ЭТО РЕБРО НАЗЫВАЕТСЯ ПЕТЛЕЙ(у графа петля – q(C,C)).

A

B

C

D

E

u

p

s

t

r

q

ДВА РЕБРА НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ВЕРШИНУ.

СТЕПЕНЬЮ ЭТОЙ ВЕРШИНЫ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ deg(A).
ЕСЛИ ВЕРШИНЕ ИНЦИДЕНТНА ПЕТЛЯ,

ОНА ДАЕТ ВКЛАД В СТЕПЕНЬ, РАВНЫЙ ДВУМ, ТАК КАК ОБА КОНЦА ПРИХОДЯТ В ЭТУ ВЕРШИНУ.

deg(A)= 3; deg(B) = 3; deg(C) = 4; deg(D) = 2; deg(E) = 0.

= 1
deg(E) = 1
deg(B) = 1
deg(A) = 1
G, H,

E, B, A - ВИСЯЧИЕ ВЕРШИНЫ

ВЕРШИН – ЧИСЛО ЧЕТНОЕ, РАВНОЕ УДВОЕННОМУ ЧИСЛУ РЕБЕР ГРАФА:

ВЕРШИНА НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТНОЙ (НЕЧЕТНОЙ), ЕСЛИ ЕЕ СТЕПЕНЬ – ЧЕТНОЕ(НЕЧЕТНОЕ) ЧИСЛО.

ТЕОРЕМА

ЧИСЛО НЕЧЕТНЫХ ВЕРШИН ЛЮБОГО ГРАФА – ЧЕТНО.

СЛЕДСТВИЕ

НЕВОЗМОЖНО НАЧЕРТИТЬ ГРАФ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ НЕЧЕТНЫХ ВЕРШИН.

ВЕРШИНЫ СОЕДИНЕНЫ ОДНИМ И ТОЛЬКО ОДНИМ РЕБРОМ.
ДОПОЛНЕНИЕМ ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ

ГРАФ С ТЕМИ ЖЕ ВЕРШИНАМИ И ИМЕЮЩИЙ ТЕ И ТОЛЬКО ТЕ РЕБРА, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ДОБАВИТЬ К ИСХОДНОМУ ГРАФУ, ЧТОБЫ ОН СТАЛ ПОЛНЫМ.

ДОПОЛНЕНИЕ ГРАФА ДО ГРАФА

ОРГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО РЕБЕР, ДЛЯ КОТОРЫХ ЭТА ВЕРШИНА ЯВЛЯЕТСЯ

КОНЦОМ (НАЧАЛОМ).

СТЕПЕНИ ВХОДА ВЕРШИН ГРАФА (см. рис.):

СТЕПЕНИ ВЫХОДА ВЕРШИН:

В КОТОРОЙ ВТОРАЯ ВЕРШИНА ПРЕДЫДУЩЕГО РЕБРА СОВПАДАЕТ С ПЕРВОЙ

ВЕРШИНОЙ СЛЕДУЮЩЕГО, НАЗЫВАЕТСЯ МАРШРУТОМ.
ЧИСЛО РЕБЕР МАРШРУТА НАЗЫВАЕТСЯ ДЛИНОЙ МАРШРУТА.
ЕСЛИ НАЧАЛЬНАЯ ВЕРШИНА МАРШРУИА СОВПАДАЕТ С КОНЕЧНОЙ, ТО ТАКОЙ МАРШРУТ НАЗЫВАЕТСЯ ЗАМКНУТЫМ ИЛИ ЦИКЛОМ.
ЕСЛИ РЕБРО ВСТРЕТИЛОСЬ ТОЛЬКО ОДИН РАЗ, ТО МАРШРУТ НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕПЬЮ.

G

H

E

C

D

F

A

B

HCDFD – МАРШРУТ ДЛИНОЙ 4.

A

B

C

D

E

u

p

s

t

r

q

(t, s, p, r) – 4-цикл
(t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-цикл
петля (q) – 1-цикл

(t, s, p) – 3-цепь

КОТОРОЙ КОНЕЦ ПРЕДЫДУЩЕГО РЕБРА СОВПАДАЕТ С НАЧАЛОМ СЛЕДУЮЩЕГО И

ВСЕ РЕБРА ЕДИНСТВЕННЫ.

ЦИКЛ В ОРГРАФЕ – ПУТЬ, У КОТОРОГО СОВПАДАЮТ НАЧАЛО И КОНЕЦ.

(u, s, r, t) – 4-путь
(r, u) – 2-путь
(s, r, t) и (u, s, r) – 3-циклы

ЕСЛИ ОНИ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЛЮБУЮ ИЗ ВЕРШИН НЕ БОЛЕЕ

ОДНОГО РАЗА.
НЕОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ НАЗЫВАЕТСЯ СВЯЗНЫМ, ЕСЛИ МЕЖДУ ЛЮБЫМИ ДВУМЯ ЕГО ВЕРШИНАМИ ЕСТЬ МАРШРУТ.

ТЕОРЕМА

ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ СВЯЗНЫЙ ГРАФ ЯВЛЯЛСЯ ПРОСТЫМ ЦИКЛОМ, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ КАЖДАЯ ЕГО ВЕРШИНА ИМЕЛА СТЕПЕНЬ, РАВНУЮ 2.

G' , В ИЗОБРАЖЕНИИ КОТОРОГО НА ПЛОСКОСТИ РЕБРА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ

ТОЛЬКО В ВЕРШИНАХ.

C

A

B

a

b

c

d

e

G

H

E

C

D

F

A

B

ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ

ИЗОБРАЖЕННЫЙ ИНАЧЕ

РЕБРА ГРАФА ТОЛЬКО ОДИН РАЗ.
ГРАФ, ОБЛАДАЮЩИЙ ЭЙЛЕРОВЫМ ЦИКЛОМ, НАЗЫВАЕТСЯ

ЭЙЛЕРОВЫМ.

ТЕОРЕМА

ГРАФ ЯВЛЯЕТСЯ ЭЙЛЕРОВЫМ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОН – СВЯЗНЫЙ ГРАФ, ИМЕЮЩИЙ ВСЕ ЧЕТНЫЕ ВЕРШИНЫ.

ЕГО ВЕРШИНУ ТОЛЬКО ОДИН РАЗ.
ГРАФ, СОДЕРЖАЩИЙ ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ, НАЗЫВАЕТСЯ

ГАМИЛЬТОНОВЫМ.

A

B

C

D

E

(C, D, A, B, E) – гамильтонов путь

ИЗ n СТРОК(ВЕРШИНЫ) И m СТОЛБЦОВ(РЕБРА), В КОТОРОЙ:
ДЛЯ НЕОРИЕНТИРОВАННОГО

ГРАФА:

, ЕСЛИ ВЕРШИНА

ИНЦИДЕНТНА РЕБРУ

, ЕСЛИ ВЕРШИНА

ИНЦИДЕНТНА РЕБРУ

ДЛЯ ОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА:

, ЕСЛИ ВЕРШИНА

ЯВЛЯЕТСЯ НАЧАЛОМ ДУГИ

, ЕСЛИ ВЕРШИНА

НЕ ИНЦИДЕНТНА ДУГЕ

, ЕСЛИ ВЕРШИНА

ЯВЛЯЕТСЯ КОНЦОМ ДУГИ

КВАДРАТНУЮ МАТРИЦУ A ПОРЯДКА n, В КОТОРОЙ:
, ЕСЛИ
,

ЕСЛИ