Презентация на тему Интеграл

S = 4, 5

S = 1⅓

Повторение

В - 1

В - 2

разбит на n отрезков одинаковой длины точками х1;х2;… ;хn-1

;хn.
∆х =(в – а)/n
На каждом отрезке как на основании построим прямоугольник высотой f (xk-1).
S = f (x k-1) ∆х = (в – а)/n f (x k-1).
S n - сумма площадей всех прямоугольников

В силу непрерывности f объединение построенных прямоугольников при большом n «почти совпадает» с криволинейной трапецией.
Sn -> S при n -> ∞.

в ] функции f (

не обязательно неотрицательной ) Sn при n -> ∞ стремится к некоторому числу. Это число называется интегралом функции от а до в.

x ) dx
Т.е. Sn -> f

( x ) dx при n -> ∞

а и в – пределы интегрирования: в – верхний предел; а – нижний предел. Знак - знак
интеграла. Функция f – подынтегральная функция. Переменная х – переменная интегрирования.

Бернулли Иоганн Бернулли
Символ интеграла введён Лейбницем

(1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S ( первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г.Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

трапеции
S = F ( b ) – F (

a ) и S = f ( x ) dx
Получаем
Если F – первообразная для f на [а; в], то
f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a )

Формула верна для любой функции f, непрерывной на [а; в]

dx – по определению не существует, т.к. на [

-1; 2 ] функция f ( х ) = 1 / х2 не является непрерывной, а значит функция F ( x ) = -1 / x не является первообразной для f ( х ) на [ -1; 2 ]. ( 0 Є [ -1; 2 ] не входит в D ( f )).
2. При а ≥ в
При таком соглашении формула Ньютона – Лейбница оказывается верной при произвольных а и в. В частности,

до 2 функции f ( х ) = х

3
( от – 1 до 1 )

2. Вычислить интеграл от - π/4 до π функции f ( х ) = 3 cos 2х.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями f1 ( х ) = х2 ; f2 ( х ) = 2х
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х = 0; у = х2 – 4х + 5 и касательной к этому графику в точке х0 = 2.

у = х2 – 6х + 5 и у = 5 – 2х – х2 двумя способами:
1) с помощью площадей криволинейных трапеций;
2) с помощью интеграла и его свойств.

г ); 364 ( б; в ).
Группа 2: №

361 ( б; в ); 364 ( а; г ).
Группа 3:
Вычислите площадь
заштрихованной фигуры
Ответ: 2

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2; у = 4; х = - 2; х = 2.
Ответ: 5⅓
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 + 1; у = 5.
Ответ: ⅔

Вариант 1:

2; 4; 3.
Вариант 2: 3; 2; 1.