Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Интегральные уравнения

Содержание

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕВ общем случае определение интегральных уравнений звучит достаточно просто: Интегральными уравнениями, называются уравнения, в которых неизвестная функция находится под знаком интеграла
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ  		ОПРЕДЕЛЕНИЕВ общем случае определение интегральных уравнений звучит достаточно просто:	Интегральными КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ  				УРАВНЕНИЙИнтегральные уравнения можно разделить на два больших класса: Линейные. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМОдним из первых интегральных уравнений, не смотря на ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМИз физических задач можно привести, например следующие: Задача ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА: 						основные понятияУравнениекоторое называется однородным уравнением Вольтерра 2-го рода.где f(x), Стоит заметить что интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех случаях, когда существует ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРАгде μ – коэффициент поглощения, P(λ,τ) – вероятность того, что СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАРассмотрим линейное дифференциальное уравнениес непрерывные СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАС начальными условиямиЕсли предположить чтото СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАПри получении формул в (4) СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАЕсли ввести обозначения, чтото уравнение СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАСуществование единственного решения уравнения (8)
Слайды презентации

Слайд 2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
В общем случае определение интегральных уравнений

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 		ОПРЕДЕЛЕНИЕВ общем случае определение интегральных уравнений звучит достаточно просто:	Интегральными

звучит достаточно просто:
Интегральными уравнениями, называются уравнения, в которых неизвестная

функция находится под знаком интеграла

Слайд 3 КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Интегральные уравнения можно разделить на два

КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ 				УРАВНЕНИЙИнтегральные уравнения можно разделить на два больших класса: Линейные.

больших класса:
Линейные. В которых неизвестная функция входит линейно.
Для

линейных интегральных уравнений выделяют два вида уравнений:
Интегральные уравнения Вольтерра (Volterra) - 1 и 2 рода.
Интегральные уравнения Фредгольма (Fredholm) - 1 и 2 рода.

Нелинейные. В данном типе уравнений неизвестная функция входит в уравнение нелинейно, т.е. имеет сложную зависимость от параметров уравнения.
Классификация нелинейных уравнений достаточно проблематична в следствии их разнообразия, но можно выделить уравнения: Урысона, Гаммерштейна, Ляпунова-Лихтенштейна и нелинейное уравнение Вольтерра.


Слайд 4 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Одним из первых интегральных

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМОдним из первых интегральных уравнений, не смотря

уравнений, не смотря на то что сам термин «Интегральное

уравнение» был придуман позже, можно считать задачу обращения интеграла:


т.е. нахождения функции f(y) по данной функции g(x). Решение данной задачи было получено Фурье в виде:


Можно считать, что формула (II) дает решение интегрального уравнения (I), в котором f(y) – неизвестная, а g(x) – заданная функция, и наоборот.
Как известно, формулы (I) и (II), называются интегральными преобразованиями Фурье.
Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений можно свести к решению интегральных уравнений Вольтерра 2 рода.
Приведенные примеры – это чисто математические задачи.




Слайд 5 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Из физических задач можно

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМИз физических задач можно привести, например следующие:

привести, например следующие:
Задача определения потенциальной энергии поля, в

котором частица совершает колебания по известной зависимости периода колебаний частицы от ее энергии может быть сведена к уравнению Вольтерра 1-го рода.
Задачи связанные с явлениями последействия, например переходные процессы в электрических цепях, как правило могут сводится к уравнениям Вольтерра 2-го рода.
При обработке данных, полученных в косвенных экспериментах, когда прямое наблюдение невозможно, например нахождение планет в других системах или нахождение полезных ископаемых путем гравиразведки, или задачи по восстановлению снятых не в фокусе изображений и .т.д. Как правило, при известной теоретической модели эксперимента подобные задачи можно свести к решению уравнению Фредгольма 1-го рода.
К уравнениям Фредгольма 2-го рода можно свести, например задачи о нахождении профиля струны при свободных гармонических колебаниях. Так же к этому типа уравнения могут быть сведены задачи, описываемые уравнением Лапласа.

Слайд 6 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА: основные понятия
Уравнение


которое называется однородным уравнением Вольтерра

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА: 						основные понятияУравнениекоторое называется однородным уравнением Вольтерра 2-го рода.где

2-го рода.
где f(x), K(x,t) – известные функции, а ϕ(x)

– неизвестная (искомая) функция, λ – числовой параметр, называется линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода. Функция K(x,t) носит название ядра уравнения Вольтерра.

Если принять что f(x)≡0, то уравнение (1) примет вид

Стоит заметить, что при решении многих задач в выражениях (1) и (2) нижний предел интегрирования может быть заменен на ноль.


Слайд 7 Стоит заметить что интегральные уравнения Вольтерра возникают в

Стоит заметить что интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех случаях, когда

тех случаях, когда существует предпочтительное направление изменения некоторой независимой

переменной, например времени, направления движения излучения, его энергии и т.д.
Рассмотрим задачу о прохождении рентгеновского излучения через вещество в направлении оси 0Х, причем при рассеянии пучок излучения будет сохранять это направление. Предположим что пучок состоит из лучей с известными длинами волн. Выберем часть из них с заданной длиной волны и рассмотрим что происходит при прохождении их через слой толщиной dx. Естественно, что часть лучей изменит длину волны из-за рассеяния, а часть поглотиться. Это приведет к падению количества лучей с рассматриваемой длиной волны. С другой стороны, данная совокупность пополниться за счет лучей, которые изначально обладали большей энергией (или меньшей длиной волны λ), но потеряли ее за счет рассеяний. Таким образом, если функция f(λ,x)dλ задает совокупность лучей с длинами волн в интервале от λ до λ+dλ, то

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА


Слайд 8 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА
где μ – коэффициент поглощения, P(λ,τ)

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРАгде μ – коэффициент поглощения, P(λ,τ) – вероятность того,

– вероятность того, что луч с длиной волны τ,

после прохождения слоя единичной длины, будет определять длину волны в интервале (λ, λ+d λ).
В результате получилось так называемое интегрально-дифференциальное уравнение, т.е. уравнение в котором неизвестная функция f(λ,x) входит одновременно как под знаком интеграла, так и как производная.

где ψ(λ,p) – новая неизвестная функция, можно показать что ψ(λ,p) будет удовлетворять интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода

Полагая


Слайд 9 СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА
Рассмотрим

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАРассмотрим линейное дифференциальное уравнениес

линейное дифференциальное уравнение
с непрерывные коэффициентами ai(x) при (i=1,2,…,n) и

начальными условиями

Уравнения вида (1) с начальными условиями (2) могут быть сведены к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

Для примера преобразуем следующее дифференциальное уравнение 2-го порядка


Слайд 10 СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА
С

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАС начальными условиямиЕсли предположить

начальными условиями
Если предположить что
то тогда, принимая во внимание начальные

условия (2*) можно последовательно получить

Слайд 11 СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА
При

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАПри получении формул в

получении формул в (4) использовалось следующее преобразование
Используя формулы (3)

и (4) , уравнение (1*) можно переписать в виде:

Перепишем данное уравнение, перенеся в левую часть все выражения с неизвестной ϕ


Слайд 12 СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА
Если

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИУРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРАЕсли ввести обозначения, чтото

ввести обозначения, что
то уравнение (5) примет вид
т.е. в результате

получилось уравнение Вольтерра 2-го рода.

  • Имя файла: integralnye-uravneniya.pptx
  • Количество просмотров: 129
  • Количество скачиваний: 1