Презентация на тему ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные

выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.
Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления - положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма- S и современная величина-A

- это сумма всех членов последовательности платежей R с

начисленными на них процентами к концу срока ренты. Логика финансовых операций по определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена на рис. 3.1. В качестве S может выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма задолженности.

Рис. 3.1. Схема формирования наращенной суммы S потока платежей

(А) - сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных)

на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему. Логику финансовых операций по определению современной суммы A величины потока платежей легко понять из рис.3.2. Современная величина A может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр.

Рис. 3.2. Схема дисконтирования потока платежей (получения их современной суммы A)

аннуитетом) называют поток платежей, все члены которого положительные величины,

а временные интервалы постоянны.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
- член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа,
- период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами,
- срок ренты (n) – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода,
- процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

годовые – ренты выплачиваются один раз в год (p

= 1) ,
р-срочные – выплата рент производится р раз в год (p > 1) равными платежами R.
2) По числу начислений процентов - m :
с начислением один раз в год (m = 1),
с начислением т раз в год (m > 1),
ренты с непрерывным начислением.
3) По величине членов различают:
постоянные имеют равные члены, когда величина каждого платежа остается неизменной во времени (R = const) ;
переменные ренты – размер платежей может быть произвольным (R = var) или изменяться по какому-либо математическому закону.
4) По вероятности выплаты членов :
верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита;
условные ренты - выплата зависит от наступления некоторого случайного события. Число ее членов заранее неизвестно.

ограниченные - с конечным и заранее известным числом членов ; бесконечные (вечные) – число членов ренты заранее неизвестно. Например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.
6) В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту: немедленные – начало действия контракта начинается сразу после его подписания, отложенные или отсроченные – начало действия контракта сдвигается на более поздние сроки.
7) По моменту выплаты платежей выделяется два вида рент: обычные (постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода (наиболее часто встречаются); авансовые (пренумерандо) - выплаты производятся в начале каждого периода.

годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение

n лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение (n -1) года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометричес-кой прогрессии:S=R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i)n-1 ,в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Отсюда:
S = R*sn;i , (3.1)
где s n;i = [(1+i)n -1]/i - коэффициент наращения ренты. S зависит от срока ренты n и уровня процентной ставки i.

счет в конце каждого года поступает по 10 млн

руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года,R = 10 000 000 руб.,m =1, i = 0,10 .Найти S = ?
Решение Вычисления производится по формуле для обычной годовой ренты по формуле (3.1) S = 10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.

году.
Платежи делают один раз в конце года, а

проценты начисляют т раз в году, то каждый раз применяется ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:R(1+ j /m)m*(n -1) , R(1+ j /m)m*(n-2) , . . . , R .Если читать последнюю формулу справа налево, то можно увидеть геометрическую прогрессию, у которой R - первый член, (1+j/m )m –знаменатель и n - число членов. Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты:
S = R [(1 + j / m) m*n -1] / [(1 + j / m)m -1] (3.2)

счет в конце каждого года поступает по 10 млн

руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года,m = 4,R = 10 000 000 руб.,
j = 0,10 .Найти S = ?
Решение.
Вычисления производится по формуле (3.2) для годовой ренты с начислением процентов 4 раза в году : S = 10 000 000*[(1+0,1/4) (3*4) - 1] / [(1+0,1/4)4 - 1] = 33 222 157,88 руб.

раз в год (m = 1).
Рента выплачивается р раз

в году равными платежами, проценты начисляются один раз в конце года m=1. Пусть R - годовая сумма платежей, тогда R/p - размер отдельного платежа.
Последовательность платежей с начисленными до конца срока- n процентами-i представляет собой геометрическую прогрессию вида: R/p*(1+i)n-1/p R/p*(1+i)n-2/p ,…,R/p. Наращенная сумма такой ренты- S будет равна сумме членов этой геометрической прогрессии, записанной в обратном порядке, у которой R/p - первый член, (1+i)/p знаменатель, n*р - общее число членов, а сама S равна
S = R*s(p)n;i , (3.3)

где s(p)n;i = - коэффициент наращения p-
срочной ренты при m =1.

счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями

из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года,m = 1,R = 10 000 000 руб., p = 4,i = 0,10.
Найти S = ?
Решение Вычисления проведем по формуле (3.3):
S = (10 000 000/4)*[(1+0,1)3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 60,35 руб.

с начислением процентов (р = т).
Воспользуемся аналогией с

годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой


Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем: (3.4)

счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями

из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года,p = m = 4,R = 10 000 000руб.,
j = 0,10.
Найти S = ?
Решение. Вычисления произведем по формуле (3.4):
S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ( З x 4 ) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.

p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥

1 (общий случай).

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами -s1=R/p*(1+j/m)m*(n-1/p).Второй член ренты к концу срока возрастет до s2= R/p*(1+j/m)m*(n-2/p) и т.д. Последний член этой геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов n*т.Соответственно наращенная сумма рассчитывается по формуле:
S =s1+s2+…+snp = (3.5)

счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными

долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года, m = 12,R = 10 000 000 руб.,
p = 4, j = 0,10 .Найти S = ?
Решение.
Вычисляя по формуле (3.5) находим:
S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4) (3х4) -1] / [(1+0,10/4) (12/4) -1] =34 529 637,96 руб.

Известна величина наращенной суммы-S , а также процентная ставка

I и количество выплат n.
Величина отдельного платежа- R по схеме постнумерандо. (3.6)

Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.7)

необходимо иметь 10 млн руб. Определить размер ежегодных платежей

: а) в конце года (постнумерандо);в) в начале года - пренумерандо по сложной процентной ставке 12% годовых.

Дано: n = 3 года,S = 10 000 000 руб.,i = 0,12 .
Найти Rпо и Rпр= ?
Решение.
а) Вычисляя по формуле (3.6)находим: Rпо= 10 000 000*0,12/[(1+0,12)3 -1] = 2 963 489,81 руб.
в) Вычисляя по формуле (3.7) находим: Rпр = (10 000 000*0,12)/[(1+0,12)((1+0,12)3 -1)] = 2 645 973,04 руб.

при известной современной стоимости A.
Известна современная стоимость- A, процентная

ставка- i,количество выплат- n.
Величина отдельного платежа по схеме постнумерандо. (3.8)

Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.9)

млн руб. сроком на 3 года под 14% годовых.

Рассчитать размер ежегодных погасительных платежей, если они будут выплачиваться a) в конце года ; b)в начале года

Дано: n = 3 года,A = 10 000 000 руб.,i = 0,14 .
Найти Ra и Rb = ?
Решение.
а) Вычисляя по формуле (3.8) находим: Ra= (10 000 000*0,14)/[1-1/(1+0,14)3] = 4 307 314,80 руб.
b) Вычисляя по формуле (3.9) находим:
R = (10 000 000*0,14)/[(1+0,14)(1-/(1+0,14)3)] = 3 778 346,32 руб.

Известна наращенная сумма-S , процентная ставка-i , отдельный платеж

-R
Срок простой ренты при платежах по постнумерандо. (3.10)
Срок простой ренты при платежах по пренумерандо. (3.11)

должен выплатить 30 000 000 руб. Платежи размером 5 000 000 руб. поступают

ежегодно в конце года, с начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты a)постнумерандо;в)пренумерандо

Дано:R = 5 000 000 руб.,S = 30 000 000 руб.,
i = 0,15 .Найти na и nb= ? Решение.
a) По формуле (3.10) находим:
na = ln (1+30 000 000*0,15/5 000 000) / ln(1+0,15) = 4,59 года.
в) По формуле (3.11) находим: nв = ln(1+30 000 000*0,15/(5 000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 4,14 года.

известной современной стоимости ренты A
Известна современная стоимость- A, отдельный

платеж ренты – R, процентная ставка- i.
Определение срока простой ренты при платежах по постнумерандо: (3.12)
Определение срока простой ренты при платежах по пренумерандо (3.13)

руб. с условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 руб.

и начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты при погашении: a) в конце года (постнумерандо); b) в начале года (пренумерандо)

Дано: A = 30 000 000 руб., R = 6 000 000 руб.,
i = 0,15. Найти na и nb = ?
Решение.
a)Вычисляя по формуле (3.12) находим: n = - ln (1-30 000 000*0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 года.
a)Вычисляя по формуле (3.13) находим
n = -ln (1-30 000 000*0,15/(6000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 7,56 года.

член годовой ренты равен R, процентная ставка i, срок

ренты n и проценты начисляются один раз в конце года. Тогда a1,a2,…an- приведенные к началу ренты величины первого, второго и т.д. платежей :




где - дисконтный множитель.

Приведенные величины-a1,a2,…,an- образуют геометрическую прогрессию, сумма которой равнаA:

(3.14)



где - коэффициент приведения ренты.

счет в конце каждого года (p = 1) поступает

по 10 млн руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке в 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Дано:n = 3 года, m = 1,R = 10 000 000 руб,
p = 1, j = 0,10. Найти A = ?
Решение.
Вычисляя по формуле (3.14) получим :
А = 10 000 000*[1 - (1+0,1) -3]/0,1 = 24 868  519,91 руб.

p ≥ 1 и m ≥ 1.
Формула (3.15)

является общей для нахождения современной величины ренты, когда р и т могут принимать произвольные значения (3.15)

счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными

долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал). Ежемесячное дисконтирование (m=12) производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Дано:n = 3 года,m = 12, R = 10 000 000 руб.,p = 4,
j = 0,10 .Найти S = ?
Решение
Вычисляя по формуле (1.37) получим:
А = (10 000 000/4)*[1 - (1+0,1/12) (-3*12)] /[(1+0,1/12)](12/4) -1] = 25 612 003,42 руб.