Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Метод статистического моделирования

Содержание

СОДЕРЖАНИЕКлючевые понятияУчебный материалВопросы для самопроверкиРекомендуемая литература
Тема 4. Метод статистического моделирования Дисциплина «Имитационное моделирование экономических процессов»Специальность №08080165 «Прикладная СОДЕРЖАНИЕКлючевые понятияУчебный материалВопросы для самопроверкиРекомендуемая литература КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯМетод Монте-КарлоСлучайная величинаБазовая случайная величинаПсевдослучайные числаМультипликативный методСмешанный методМетод серединных квадратовДлина отрезка апериодичностиЭмпирические тестыТеоретические тесты УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛОсновные задачи лекцииРаскрыть основные понятия, связанные с методом статистического моделирования.Рассмотреть способы УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		В настоящее время моделирование по методу Монте-Карло широко применяется при решении УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛОбщая структура статистической модели 	Задачи статистического моделирования: построение объекта моделирования;2) формирование УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ 	Моделирование случайных процессов	Имитационная модель позволяет исследовать поведение различных систем с УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	К общим принципам имитации случайных воздействий на ЭВМ относятся: Формирование базовой УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Способы формирования базовой случайной величины 	В основе базовой СВ обычно используется УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ. Рисунок 1 - Функция плотности для равномерного распределенияРисунок 2 - Функция равномерного распределения УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Определим числовые характеристики случайной величины принимающей значения x: математическое ожидание (формула УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	При моделировании систем на ЭВМ приходится иметь дело со случайными числами УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Математическое ожидание такого распределения - УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛПолучение квазиравномерных чисел 		Случайная величина, имеющая квазиравномерное распределение в интервале [0,1], УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	В первом случае используем соотношение:								(4)	Во втором случае имеем соотношение:		 								(5) УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛСпособы получения случайных чисел	Моделирование любой системы или процесса, содержащих случайные компоненты, УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛФизический способ		С распространением компьютеров (и моделирования) все более пристальное внимание стало УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Преимуществом физических датчиков является высокая скорость формирования случайных чисел.	К недостаткам физических УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛПрограммный способ 		Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Хороший арифметический генератор случайных чисел должен обладать следующими свойствами:Получаемые числа должны УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ3. Генератор должен обеспечивать возможность точно воспроизводить заданный поток случайных чисел.4. УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛМетод серединных квадратов 	Алгоритм получения последовательности случайных чисел методом серединных квадратов УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Например: 				и т.д.	Недостатком этого метода является наличие корреляции между числами последовательности, УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Метод срединных квадратов вовсе не является случайным, то есть непредсказуемым (это УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛЛинейные конгруэнтные генераторы	Широкое применение при моделировании на ЭВМ получили линейные конгруэнтные УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Два целых числа  и  конгруэнтны (сравнимы) по модулю m УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛМультипликативный метод	Задает последовательность неотрицательных целых чисел    , не УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛАлгоритм построения последовательности сводится к следующим шагам:выбрать в качестве x0 произвольное УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ4) взять q младших разрядов в качестве первого члена последовательности Xi;5) УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛCмешанный метод	Сначала выбирается значение m. Чтобы получить длинный период и высокую УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛПроверка качества последовательностей псевдослучайных чисел		При моделировании важными характеристиками качества генератора являются УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Способ экспериментального определения длины периода p и длины отрезка апериодичности L УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛРисунок 17 Представление определения длин периода p и отрезка периодичности L УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Применяемые в имитационном моделировании генераторы случайных чисел должны пройти тесты на УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Существуют тесты двух типов. 	Эмпирические тесты — это обычный тип статистических ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИМетод Монте-Карло. Моделирование случайных величин.Моделирование непрерывных случайных величин.Способы формирования базовой РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРАГультяев А.К. Имитационное моделирование в среде Windos. – СПб.: КОРОНА принт, Использование материалов презентацииИспользование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований
Слайды презентации

Слайд 2 СОДЕРЖАНИЕ

Ключевые понятия
Учебный материал
Вопросы для самопроверки
Рекомендуемая литература

СОДЕРЖАНИЕКлючевые понятияУчебный материалВопросы для самопроверкиРекомендуемая литература

Слайд 3 КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Метод Монте-Карло
Случайная величина
Базовая случайная величина
Псевдослучайные числа
Мультипликативный метод
Смешанный

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯМетод Монте-КарлоСлучайная величинаБазовая случайная величинаПсевдослучайные числаМультипликативный методСмешанный методМетод серединных квадратовДлина отрезка апериодичностиЭмпирические тестыТеоретические тесты

метод
Метод серединных квадратов
Длина отрезка апериодичности
Эмпирические тесты
Теоретические тесты







Слайд 4 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Основные задачи лекции
Раскрыть основные понятия, связанные с

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛОсновные задачи лекцииРаскрыть основные понятия, связанные с методом статистического моделирования.Рассмотреть

методом статистического моделирования.

Рассмотреть способы формирования случайных величин.

Рассмотреть способы

проверки качества последовательностей псевдослучайных чисел.



Слайд 5 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
На этапе исследования и проектирования систем при

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации

построении и реализации машинных моделей широко используется метод статистических

испытаний (метод Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел.

Метод статистических испытаний – это метод решения невероятностной проблемы вероятностным способом. Явное представление времени здесь отсутствует. Суть метода в том, что процесс описывают формулами и логическими выражениями на ЭВМ. Затем в модель вводят случайно изменяющиеся факторы и оценивают их влияние на показатели процесса. Результаты оценки подвергают статистической обработке.

Слайд 6 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
В настоящее время моделирование по методу Монте-Карло

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		В настоящее время моделирование по методу Монте-Карло широко применяется при

широко применяется при решении определенных задач статистики, которые не

поддаются аналитической обработке. Этот тип моделирования применялся для оценки критических значений или достоверности критерия при проверке гипотезы.






Слайд 7 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Общая структура статистической модели

Задачи статистического моделирования:

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛОбщая структура статистической модели 	Задачи статистического моделирования: построение объекта моделирования;2)



построение объекта моделирования;

2) формирование случайных взаимодействий;

3) организация статистической

обработки данных моделирования;

4) задача планирования эксперимента.



Слайд 8 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Моделирование случайных процессов

Имитационная модель позволяет исследовать

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ 	Моделирование случайных процессов	Имитационная модель позволяет исследовать поведение различных систем

поведение различных систем с учетом влияния случайных факторов. Эти

факторы в зависимости от их природы могут быть отражены в модели как случайные события, случайные величины (дискретные или непрерывные) или как случайные функции (процессы).




Слайд 9 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
К общим принципам имитации случайных воздействий на

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	К общим принципам имитации случайных воздействий на ЭВМ относятся: Формирование

ЭВМ относятся:

Формирование базовой случайной величины (CB)

2) Преобразование

базовой случайной величины в значения случайных величин распределенных по требуемому закону.






Слайд 10 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Способы формирования базовой случайной величины

В основе

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Способы формирования базовой случайной величины 	В основе базовой СВ обычно

базовой СВ обычно используется СВ равномерно распределенная на интервале

[0,1].
Рассмотрим общий случай распределения СВ на интервале [a,b]. Непрерывная СВ имеет равномерное распределение в интервале [a,b], если ее функции плотности (рис. 1) и распределения (рис. 2) соответственно примут вид:

Слайд 11 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
.




Рисунок 1 - Функция плотности для

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ. Рисунок 1 - Функция плотности для равномерного распределенияРисунок 2 - Функция равномерного распределения

равномерного распределения








Рисунок 2 - Функция равномерного распределения



Слайд 12 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Определим числовые характеристики случайной величины принимающей значения

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Определим числовые характеристики случайной величины принимающей значения x: математическое ожидание

x: математическое ожидание (формула 1), дисперсию (формула 2) и

среднее квадратическое отклонение (формула 3):

(1)


(2)

(3)






Слайд 13 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
При моделировании систем на ЭВМ приходится иметь

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	При моделировании систем на ЭВМ приходится иметь дело со случайными

дело со случайными числами интервала [0,1], когда границы интервала

a=0, b=1.

Рассмотрим частный случай равномерного распределения, когда функции плотности и распределения соответственно имеют вид:





Слайд 14 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Математическое ожидание такого распределения -

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Математическое ожидание такого распределения -

, дисперсия - и среднеквадратическое отклонение - . Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, т.к. машина оперирует с n-разрядными числами. Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала [0,1] используют дискретную последовательность случайных чисел того же интервала.
Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.






Слайд 15 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Получение квазиравномерных чисел

Случайная величина, имеющая квазиравномерное

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛПолучение квазиравномерных чисел 		Случайная величина, имеющая квазиравномерное распределение в интервале

распределение в интервале [0,1], принимает значения с вероятностями .

Математическое

ожидание и дисперсия квазиравномерной СВ соответственно имеют вид:







Слайд 16 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
В первом случае используем соотношение:


(4)

Во втором случае

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	В первом случае используем соотношение:								(4)	Во втором случае имеем соотношение:		 								(5)

имеем соотношение:

(5)




Слайд 17 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим

совпадает с математическим ожиданием равномерной случайной последовательности интервала [0,1],

а дисперсия отличается множителем , который при достаточно больших близок к единице.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел т.к. можно оперировать только с конечным множеством чисел, и для получения значений х случайной величины используют формулы; поэтому такие последовательности называют псевдослучайными.




Слайд 18 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Способы получения случайных чисел

Моделирование любой системы или

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛСпособы получения случайных чисел	Моделирование любой системы или процесса, содержащих случайные

процесса, содержащих случайные компоненты, предполагает использование метода генерирования чисел,

которые в определенном смысле являются случайными.

Существуют два способа формирования случайных чисел (CЧ):

с помощью специального физического датчика;

2) с помощью специальных программ.



Слайд 19 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Физический способ

С распространением компьютеров (и моделирования) все

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛФизический способ		С распространением компьютеров (и моделирования) все более пристальное внимание

более пристальное внимание стало уделяться методам генерирования, или генераторам,

случайных чисел, совместимых со способом работы компьютеров. При этом способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой - генератором (датчиком) СЧ, служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т.д. (количество радиоактивных частиц).



Слайд 20 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Преимуществом физических датчиков является высокая скорость формирования

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Преимуществом физических датчиков является высокая скорость формирования случайных чисел.	К недостаткам

случайных чисел.

К недостаткам физических датчиков случайных чисел относятся:

изготовление

отдельного прибора;

не позволяют гарантировать качество последовательности непосредственно во время моделирования системы на ЭВМ, а также повторно получать при моделировании одинаковые последовательности чисел.



Слайд 21 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Программный способ

Наибольшее применение в практике моделирования

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛПрограммный способ 		Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для

на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел получили алгоритмы

вида: представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число x0 и постоянные параметры заданы.




Слайд 22 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Хороший арифметический генератор случайных чисел должен обладать

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Хороший арифметический генератор случайных чисел должен обладать следующими свойствами:Получаемые числа

следующими свойствами:

Получаемые числа должны быть равномерно распределены в интервале

[0,1] и не должны иметь корреляции друг с другом, в противном случае результаты моделирования могут оказаться полностью недействительными.

2. Чтобы генератор можно было использовать на практике, он должен обладать быстродействием и не требовать больших затрат памяти.



Слайд 23 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
3. Генератор должен обеспечивать возможность точно воспроизводить

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ3. Генератор должен обеспечивать возможность точно воспроизводить заданный поток случайных

заданный поток случайных чисел.

4. В генераторе должен быть предусмотрен

простой способ получения отдельных потоков случайных чисел. Поток — это просто часть последовательности случайных чисел, производимых генератором, очередной поток начинается в том месте, где заканчивается предыдущий.



Слайд 24 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Метод серединных квадратов

Алгоритм получения последовательности случайных

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛМетод серединных квадратов 	Алгоритм получения последовательности случайных чисел методом серединных

чисел методом серединных квадратов сводится к следующему:
Пусть имеется

2n- разрядное число, меньше 1:

возведем его в квадрат:
,
а затем возьмем средние разрядов:
,
которые и будут очередным числом.






Слайд 25 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Например:



и т.д.

Недостатком этого метода является наличие

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Например: 				и т.д.	Недостатком этого метода является наличие корреляции между числами

корреляции между числами последовательности, а в ряде случаев случайность

вообще может отсутствовать.








Слайд 26 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Метод срединных квадратов вовсе не является случайным,

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ		Метод срединных квадратов вовсе не является случайным, то есть непредсказуемым

то есть непредсказуемым (это наиболее существенный его недостаток). На

самом деле, если мы знаем одно число, следующее число является полностью предопределенным, по­скольку правило его получения неизменно. Фактически, когда задается x0, предопределяется вся последовательность чисел xi. Это замечание касается всех арифметических генераторов.



Слайд 27 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Линейные конгруэнтные генераторы

Широкое применение при моделировании на

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛЛинейные конгруэнтные генераторы	Широкое применение при моделировании на ЭВМ получили линейные

ЭВМ получили линейные конгруэнтные процедуры генерации псевдослучайных последовательностей. В

них последовательность целых чисел определяется по рекурсивной формуле
(6)
где m (модуль), (множитель), c (приращение) и x0 (начальное число или значение) являются неотрицательными целыми числами. Таким образом, согласно формуле (6), для получения xi - нужно разделить на m, то есть xi будет остатком этого деления.







Слайд 28 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Два целых числа и конгруэнтны

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Два целых числа и конгруэнтны (сравнимы) по модулю m (m

(сравнимы) по модулю m (m - целое число), если

делится на m без остатка и если числа и дают одинаковые остатки от деления на m.

Например:
125 и 5 (mod 10) m=10

Конгруэнтная процедура получения последовательностей случайных квазиравномерно распределенных чисел может быть реализована мультипликативным (с параметром c = 0) либо смешанным методом (с параметром c > 0).







Слайд 29 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Мультипликативный метод

Задает последовательность неотрицательных целых чисел

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛМультипликативный метод	Задает последовательность неотрицательных целых чисел  , не превосходящих

, не превосходящих m по формуле:

(7)

Для

машинной реализации , где p=2, а q - число бит в машинном слове.






Слайд 30 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Алгоритм построения последовательности сводится к следующим шагам:

выбрать

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛАлгоритм построения последовательности сводится к следующим шагам:выбрать в качестве x0

в качестве x0 произвольное нечетное число;

2) вычислить коэффициент ,

где t - любое целое положительное число;

3) найти произведение , содержащие не более 2q значащих разрядов;





Слайд 31 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
4) взять q младших разрядов в качестве

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ4) взять q младших разрядов в качестве первого члена последовательности

первого члена последовательности Xi;

5) определить дробь - это и

есть искомое число;

6) присвоить ;

7) вернуться к 3 пункту.





Слайд 32 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Cмешанный метод

Сначала выбирается значение m. Чтобы получить

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛCмешанный метод	Сначала выбирается значение m. Чтобы получить длинный период и

длинный период и высокую плотность величин xi в интервале

[0, 1], величина m должна иметь большое значение. Самым удачным выбором является m=2b, где b - число битов в слове задействованного компьютера.



Слайд 33 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Проверка качества последовательностей псевдослучайных чисел

При моделировании важными

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛПроверка качества последовательностей псевдослучайных чисел		При моделировании важными характеристиками качества генератора

характеристиками качества генератора являются длина периода p и длина

отрезка апериодичности L. Длина отрезка апериодичност L псевдослучайной последовательности - есть наибольшее целое число, такое, что все числа xi в пределах этого отрезка не повторяются.



Слайд 34 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Способ экспериментального определения длины периода p и

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Способ экспериментального определения длины периода p и длины отрезка апериодичности

длины отрезка апериодичности L сводится к следующему:

Запускается программа генерации

последовательности {xi} с начальным значением x0 и генерируется V чисел xi. В большинстве случаев V - (1-5)106. Генерируются числа и фиксируется число xV.

2. Затем программа запускается повторно с начальным числом x0 и при генерации очередного числа проверяется истинность события p{xi=xV}. Если это событие истинно i=i1 и i=i2, то вычисляется длина периода последовательности p=i3-i1 .

3. Проводится запуск программы генерации с начальными числами x0 и xp. При этом фиксируется минимальный номер i=i3, при котором истинно событие p’’{xi=xp+i} и вычисляется длина отрезка апериодичности L=i3+p.



Слайд 35 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ








Рисунок 17 Представление определения длин периода p

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛРисунок 17 Представление определения длин периода p и отрезка периодичности L

и отрезка периодичности L



Слайд 36 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Применяемые в имитационном моделировании генераторы случайных чисел

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Применяемые в имитационном моделировании генераторы случайных чисел должны пройти тесты

должны пройти тесты на пригодность.

Основные анализируемые характеристики генерируемых датчиком

последовательностей:

равномерность;

стохастичность (случайность);

независимость.



Слайд 37 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Существуют тесты двух типов.

Эмпирические тесты —

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ	Существуют тесты двух типов. 	Эмпирические тесты — это обычный тип

это обычный тип статистических тестов, они основаны на действительных

значениях xi выдаваемых генератором.

Теоретические тесты не являются тестами в том смысле, в каком они предусматриваются в статистике. Однако в них используются числовые параметры, чтобы оценить генератор глобально без фактического генерирования некоторых или всех значений xi.



Слайд 38 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Метод Монте-Карло.
Моделирование случайных величин.
Моделирование непрерывных

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИМетод Монте-Карло. Моделирование случайных величин.Моделирование непрерывных случайных величин.Способы формирования

случайных величин.
Способы формирования базовой случайной величины.
Способы получения случайных чисел.
Линейные

конгруэнтные генераторы.
Проверка качества последовательностей псевдослучайных чисел.
Эмпирические тесты. Теоретические тесты.




Слайд 39 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Гультяев А.К. Имитационное моделирование в среде Windos.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРАГультяев А.К. Имитационное моделирование в среде Windos. – СПб.: КОРОНА

– СПб.: КОРОНА принт, 2001. – 400 с.
Кийкова Е.В.,

Лаврушина Е.Г. Имитационное моделирование экономических процессов. Учебное пособие.- Владивосток: ВГУЭС, 2007. -128 с.
Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2001.-344 с.

  • Имя файла: metod-statisticheskogo-modelirovaniya.pptx
  • Количество просмотров: 177
  • Количество скачиваний: 0