Презентация на тему Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией

случайных блужданиях (К.Пирсон, 1905): человек начинает движение с точки

O и двигается по прямой на расстояние l, затем он совершает поворот на произвольный угол. Процесс повторяется n раз. Необходимо найти вероятность того, что после n шагов человек будет находиться в интервале от r до r+dr от точки O.

нужно найти плотность вероятности того, что частица, испытав N

прыжков в пространстве некоторой размерности G окажется в интервале

Каждый i-ы прыжок может быть произведен в интервал длин

с вероятностью

*Chandrasekhar S Rev.Mod.Phys. 15 1 (1943).

Важнейшим требованием для решения является наличие всех моментов закона прыжка

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

поверхности спирта (Я.Ингенхоуц, 1785)
движения пыльцы в жидкости (Р.

Броун, 1827)

Математические результаты:
К.Винер предположил, что движение броуновской частицы является следствием ее соударений с молекулами жидкости (1863)
А.Эйнштейн получил уравнение диффузии

Хаотическое движение молекул жидкости можно представить как случайные блуждания с характерной длиной блуждания и временем . Нас интересует вид функции , которая определяет плотность вероятности того, что частица будет находиться в положении в момент времени при стремлении величин:

предполагает, что прыжки или блуждания происходят в независимые случайные

моменты времени, при этом вероятность того, что следующий прыжок произойдет через промежуток времени от до определяется плотностью распределения

В случае если характерное время между прыжками



конечно, то есть интеграл сходится, можно утверждать, что время, необходимое для совершения N прыжков, равно NT. Таким образом, можно заменить в дискретной задаче N на непрерывное время t/T.

Условная плотность распределения вероятности нахождения частицы в точке x в момент времени t определяется как:

высоких моментов закона прыжка)
Закон элементарного прыжка, не дающий всех

конечных моментов, но обладающий нормировкой:

3/2>β>1/2 , z – характерная длина прыжка

Большие флуктуации могут возникать посредствам одного прыжка (R=r при N=1)

Функция W1(R) - самоподобна

Медленно спадающая асимптотика, значительное количество больших флуктуаций

- Распределение Леви

распределения Леви в явном виде известна только для двух

значений α. При распределение α=1 Коши, а при α=2 - распределение Гаусса.
Распределение Леви обладает свойством масштабной инвариантности
Для распределения Леви характерно наличие медленно спадающей асимптотики (тяжелых хвостов)
Важным свойством распределения Леви является его сходимость к степенному закону для больших значений x.
Отсутствует как дисперсия, так и все более высокие моменты распределения.

Сплошная линия – распределение Леви, пунктирная – нормальное распределение. Логарифмический масштаб. По оси x – величина флуктуации в единицах дисперсии

Физические примеры аномальной диффузии:
прохождение света через стекло Леви
Нефизические

примеры аномальной диффузии:
перемещения альбатросов
перемещения банкнот в мире

Траектории перемещения банкнот*

По оси y – плотность вероятности перемещения банкноты, по оси x – расстояние. Для T=4 дням. Двойной log масштаб.

*D. Brockman, L. Hufnagel, T. Geisel, “The scaling of human travel”, Nature 439, 462-465. (2006)

Стекло Леви. Относительный пропущенный свет – y, толщина образца – x.

выше второго)
В области малых флуктуаций:
При больших флуктуациях впервые получено:
Зависимость

СКО от числа прыжков:

Здесь закон прыжка тот же, но β>3/2

Для β=2 – неотличимо от Гаусса

Для =2 (1), =3 (2), =4 (3), =5 (4) в зависимости от длины блужданий R, нормированных на z. Штриховые прямые -асимптотики при больших R. Двойной логарифмический масштаб.

Кумулятивная функция распределения усеченных блужданий Леви при β =2 для разных N.

Точные нормированные функции распределения случайных блужданий

Сплошная линия: N = 1, пунктирная линия: N = 60, точки: N = 450

Такие случайные блуждания представляют собой «усеченные» блуждания Леви.

образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и усеченные

блуждания Леви.
Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты, как для области малых флуктуаций, так и для области больших флуктуаций.

относительных приращений цен акций
где Y(t) – цена акции в

момент времени t

График значений индекса S&P 500 (а), флуктуаций индекса S&P 500 (б) в период с 1.01.2000 по 1.01.2012.

относительных приращений цен акций
где Y(t) – цена акции в

момент времени t

1. Автокорреляционная функция:

Флуктуации – случайные блуждания

2. Распределения флуктуаций доходностей на фондовом рынке:
«толстые хвосты»
масштабная инвариантность
степенное усечение хвостов с законом:

Кумулятивные распределения флуктуаций акций Сбербанка, по оси x – нормированный на дисперсию размер флуктуации, двойной логарифмический масштаб

Автокорреляционная функция для флуктуаций акций Сбербанка, По оси x- время в днях.

определить среднее значение временного интервала между отдельными изменениями цены

и собственно характерный масштаб этого изменения . Если тик цены является минимальным масштабом процесса, то эти две величины должны удовлетворять функциональной связи, определяющей зависимость дисперсии от числа прыжков

рассматриваемой системы
Характер асимптотики «усеченных» блужданий Леви с законом

единичного прыжка при β=2 соответствует эмпирическим

распределениям, однако в этом случае имеет место различное поведение распределения для разных значений N, чего не видно в реальности.
Попробуем применить схему случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW). Данная модель позволяет простым образом перейти от дискретных случайных блужданий к непрерывным. Если ввести функцию плотности распределения прыжков за определенное время p(N,t), то наблюдаемая плотность распределения W(R,t) выражается формулой подчинения:

Функция распределения временных интервалов спадает с уменьшением Δt как (Δt)4.4. Учет времени между прыжками не позволяет получить новые результаты в силу наличия математического ожидания величины временного интервала.

формирующих временной ряд, имеющее хвосты степенного вида с показателем

степени 1.7>ς>1.5
Каждое z в схеме является случайной величиной zi пропорциональной кол-ву акций в i-ой сделке. Мы вводим зависимость функции распределения вероятности единичных флуктуаций τi(ri) от другой случайной величины zi. Функция распределения «усеченных» случайных блужданий Леви при β=2:

Асимптотика распределения при больших R:

имеют функцию распределения

Плотность вероятности

Кумулятивное распределение объема торгов в одном тике для акций Сбербанка 21.11.2007 г. Прямой линией обозначена «хвостовая» зависимость x-ς, где ς = 1.7

соответствующее асимптотическое кумулятивное распределение:
на величину стандартного отклонения:
При δ

~ 2.5-2.7, получаем зависимости от N в диапазоне N0.5 - N0.27 , то есть слабую зависимость от N, что и наблюдается для эмпирических данных.

Кумулятивные распределения флуктуаций акций Сбербанка, по оси x – нормированный на ст. отклонение размер флуктуации, двойной логарифмический масштаб

Кумулятивная функция распределения, полученная в модели для β =2 (ось Y), нормированная на ст. отклонение.Сплошная линия: N = 1, пунктирная линия: N = 60, точки: N = 450.

образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и «усеченные»

блуждания Леви.
Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты и выяснены законы масштабирования.
Исследована система, в которой наблюдаются негауссовы случайные блуждания, представляющая собой динамику цен акций на российском фондовом рынке.
Кумулятивные распределения флуктуаций российских акций и индексов обладают скейлингом, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа 1/x3.
Установлен закон прыжка, удовлетворяющий исследованной системе
Предложена схема модификации модели, позволяющая получить точный аналитический вид распределения, хорошо описывающий реальные данные.

фондового рынка: автокорреляции и распределения, "Математика. Компьютер. Образование", Тезисы

XV международной конференции (2008)
2. Видов П.В., Жуков И.А., Романовский М.Ю., Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения, "Математика. Компьютер. Образование". Cб. трудов XV международной конференции, Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", (2008). Том 1, 302 стр. Стр. 196-201
3. П.В. Видов, М.Ю. Романовский, Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий, Труды Института общей физики им. А.М. Прохорова, Т.65, (2009)
4. P.V.Vidov and M.Yu.Romanovsky. Analytical representation of non-Gaussian laws of random walks, Physics of wave phenomena. (2009). V.17, No.3. P.218-228.
5. М.Ю.Романовский, П.В. Видов, В.А. Пыркин, Является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на фондовом рынке? Компьютерные исследования и моделирование, Т.2, № 2, с.219-223, (2010)
6. Видов П.В., Романовский М.Ю., "Неклассические случайные блуждания и феноменология флуктуаций доходности ценных бумаг на фондовом рынке" УФН, 181, 774–778 (2011)
7. M.Yu. Romanovsky, P.V. Vidov, Analytical representation of stock and stock-indexes returns: Non-Gaussian random walks with various jump laws, Physica A, 390, 21-22 (2011)