Презентация на тему по геометрии Теорема Пифагора

теоремы
Историческая справка
Пифагоровы и египетские треугольники
Задачи
Контрольные вопросы

мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами

прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.

ТЕОРЕМА
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Содержание

a, b и гипотенузой с (рисунок 1). Докажем,

что

Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рисунке 2. Площадь S этого квадрата равна

С другой стороны этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна


и квадрата со стороной c, поэтому


Таким образом,
откуда
Теорема доказана.

Содержание

квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других

сторон, то треугольник прямоугольный.


Содержание

в треугольнике ABC

.
Докажем, что угол С прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом ,
у которого и .

По теореме Пифагора , и, значит, .

Но по условию теоремы. Следовательно,

Откуда . Треугольники ABC и равны по трем сторонам, поэтому , т.е. треугольник ABC прямоугольный
с прямым углом C. Теорема доказана.






Содержание

Интересна история теоремы

Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее придание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным: . Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25.


Содержание

треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются

пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами
, ,
где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n. треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, т.к. он был известен еще древним египтянам.

Содержание

и b :

Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий

против угла . если гипотенуза равна с .

По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную к гипотенузе:

Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:(в каждом случае ответ обоснуйте)



Содержание