Презентация на тему 5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

, где и определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и ,представляла собой полный дифференциал некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие .

, то уравнение

не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение можно превратить в уравнения в полных дифференциалах умножением на подходящую функцию . Такая функция называется интегрирующим множителем для данного дифференциального уравнения.

, делят на

, если не зависит частное от , то находят по формуле , если в противном случае делят на и если частное не зависит от x , то существует и его находят по формуле

- общее

решение дифференциального уравнения, т.е. семейство интегрирующих кривых в некоторой области , плоскости , в которой определена функция . Дифференциальное уравнение устанавливает связь между координатами любой точки области и значением производной в этой точке. Зная и точки , можно найти значение производной, т.е. угловой коэффициент касательной к интегрирующей кривой, проходящую через точку .

. Т.е. дифференциальное

уравнение определяет совокупность направлений, или поле направлений в области .Изображая стрелкой направление, можно построить поле направлений дифференциального уравнения .

М

у

х

кривых, которые в каждой своей точке касаются направления, задаваемым

полем .

определена и непрерывна в области плоскости

и имеет непрерывную частную производную во всех точках этой области, то, какова бы ни была точка области , всегда существует и притом единственная, функция , которая определена и непрерывна в некотором интервале, содержащим точку , является решением уравнения и принимает при значение .

, не разрешенное относительно .

n-й степени , где n-целое положительное число, , - функции от х и у.

содержащее х

. Это уравнение решается методом введения параметра р.
Пусть , тогда .

, тогда

.

содержащее у:

.
Аналогично: ,

у, но не обязательно разрешенные относительно у и х.

(*)

(**)

y , т.е. имеющее вид

.
Его общий интеграл имеет вид

, вместе с уравнением он дает общий интеграл уравнения Лагранжа.

.