Презентация на тему Демонстрационный вариант по математике (задание 21), часть 1

три дуги, длины которых относятся как 3 : 7

: 8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Пусть k - одна часть, тогда дуга ВС = 3k, дуга АС = 7k, дуга АВ = 8k. Т.к. в окружности 360°, то составим и решим уравнение:3k + 7k + 8k = 360;  18k = 360; k = 20.
Найдем дугу ВС:  3 • 20 = 60°.
∠ВОС - центральный, опирается на дугу ВС, значит ∠ВОС = 60°. ΔВОС - равнобедренный, т.к. ОВ = ОС (радиусы), по свойству углов в равнобедренном треугольнике ∠ОВС = ∠ОСВ =  (180° - ∠ВОС) : 2 = (180° - 60°) : 2 = 60°. Следовательно, ΔВОС - равносторонний и ОС = ОВ = ВС = 20.
Ответ: 20.

1

и 83°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около

треугольника АВС, равен 16.  

По теореме о сумме углов в треугольнике найдем  ∠А = 180° - ∠В - ∠С = 180° - 67° - 83° = 30°.∠А является вписанным, поэтому дуга ВС, на которую он опирается, в два раза больше угла А, т.е. дуга ВС = 30° • 2 =60°.
∠ВОС так же опирается на дугу ВС, но является центральным, поэтому он будет равен дуге ВС: ∠ВОС = 60°. Рассмотрим  ΔАВС:ОВ = ОС (радиусы окружности), значит ΔАВС - равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, т.е. ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° - ∠ВОС) : 2 = (180° - 60°) : 2 = 60°. Следовательно, ΔОВС - равносторонний, значит
ВС = ОВ = ОС = 16.
Ответ: 16.

2

= ∠ MAD,
∠ CDM = ∠ CМD. ∠

MAD = ∠ ВМА как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей АМ. ∠ CMD = ∠ MDA как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей DМ. Следовательно, ∠ ВАМ = ∠ ВМА, ∠ CMD = ∠ CDM, значит ΔАВМ и ΔCMD - равнобедренные. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, к тому же, по свойству параллелограмма, AB = CD, значит АВ = ВМ = СМ = СD. Отсюда, ВМ = ВС : 2 = 40 : 2 = 20 = АВ. Ответ: 20.

3

Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС = 40.

проведенными из вершины прямого угла, равен 46°. Найдите меньший

из двух острых углов треугольника.

Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, поэтому искать будем угол В.Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, значит ВМ = АМ и ΔАВМ - равнобедренный, следовательно ∠ВАМ=∠В.
Рассмотрим ΔВАМ: сумма острых углов равна 90°, т.е. ∠В + ∠ВАН = 90° = ∠В + ∠ВАМ + ∠МАН = 90° = ∠В + ∠В + ∠МАН = 90° = 2∠В + 46° = 90°; 2∠В = 44°; ∠В = 22°.
Ответ: 22°.

4

А. Найдите сторону ВС, если периметр ABCD равен 36.
Параллелограмм

является ромбом, если одна из диагоналей делит содержащие ее углы пополам, что как раз является нашим случаем.
В ромбе все стороны равны, периметр - это сумма длин всех сторон, значит ВС=36:4=9.
Ответ: 9.

5

Решите задачу и напишите ответ