Презентация на тему Диофантовы уравнения

а присутствуют на экзамене!
Проблема подтолкнувшая на создание работы:

«Диофантовых уравнений»
Актуальность моего исследования

одной неизвестной;
-Исследовать варианты уравнений с двумя неизвестными;
-Найти общие закономерности

результатов решений поставленных задач.

только предполагать, по написанному стихотворению:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись

ей - и камень.
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая. С подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской, возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

x лет. Составим и решим уравнение:
Умножим уравнение на

84, чтобы избавиться от дробей:

К сожалению, до наших дней сохранились только шесть первых

книг из тринадцати. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач их всего 189, каждая из которых снабжена решением или несколькими способами решения и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов.

коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем

числа свободного члена уравнения. Таким образом, при отыскании целых корней уравнения с целыми коэффициентами достаточно испытать лишь делители свободного члена.

имеет следующие делители
Среди этих чисел и будем искать

целые корни данного уравнения. Подстановкой
убеждаемся, что корнями являются числа 1 и – 3.

y2 = z2
Существует еще одна частная задача на

неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте.
Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы

угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям,

забивали колышек в точке В при СВ = 4 и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Мы, конечно, понимаем, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Действительно,
32 + 42 = 52 . Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения

разность между последовательными квадратами:
1, 4, 9, 16, 25, 36,

49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … .
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 … .

Найдем в нижнем ряду квадратные числа. Первое из них 32 = 9 , над ним 42 = 16 и 52 =25, знакомая нам тройка 3, 4, 5.Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Отсюда мы имеем право сформулировать такую теорему:

составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем

называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

и уравнений…. И я понял, что для решения задач

есть много подходов. Диофант Александрийский не останавливался на одном решении, он находил каждый раз новые и более сложные пути получения результатов.

по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53

рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Именно эта задача проявила мой интерес к изучению «Диофантовых уравнений» и с неё начались мои исследования!

– число карандашей, тогда по условию 7х+ 4у=53. Частное

решение этого линейного диофантова уравнения есть: х=7, у=1. Тогда общее решение его имеет вид: х=7-4t, y=1+7t. Однако условию х> 0, y>0, то значениями параметра t могут быть лишь t=0 и t=1. При t=0 получаем х=7, у=1, а при t=1 имеем: х=3, у=8. Таким образом, решений два, т.е. возможны два варианта покупки фломастеров и карандашей на сумму 53 рубля.

Выбираем наименьший по модулю коэффициенты x,y,z. В

нашем случае это 7, затем остальные коэффициенты 23 и 13, при неизвестных представляем в виде: 23= 7*3+2, 13=7*2+(-1), тогда преобразуем уравнение следующим образом: (7*3+2)х-(7*2-1)у+7z=5,
Откуда 2х+у+7(3х-2у+z)=5. Полагая теперь t= 3х-2у+z, получаем уравнение: 2х+у+7t=5.
Далее находим у из последнего равенства, т.е. у=5-2х-7t и z=-3x+2у+t. Подставляя в последние равенство выражение для у, находим, что z=-3х+2(5-2х-7t)+t=-7х -13t+10.
Таким образом, окончательно получаем: У= 5-2х-7t, z=10-7х-13t, где параметры х, и Є Z дают общее решение предположенного диофантова уравнения. Этот метод «наименьшего коэффициента» применим и для решения диофантовых уравнений вида ax+by=c.

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение

вида: (х-у)(х+у)=69 Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1*69 и 69=3*23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

или

Первая система имеет решение х=35, у=34 , а вторая система имеет решение х=13, у=10.
Ответ: (35;34) и (13;10)

особенно хотелось подчеркнуть, что изучив специальную литературу, посвященную диофантовым

уравнениям, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные знания о самом Диофанте, также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной математической мысли. Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. Методы Диофанта растягиваются еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история Диофантова анализа показалась мне особенно интересной.

день остаются актуальной темой.
Умение решать такие уравнения позволяет

найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени.
Проведя данное исследование, я овладел новыми математическими навыками, рассмотрел некоторые методы решения неопределенных уравнений.
Изучая диофантовы уравнения, показал практическое им применение, решив несколько задач.