Слайд 2
Тема нашего исследования – «Интересные приёмы вычислений».
Объект исследования:
Интересные приёмы вычислений.
Предмет исследования:
Приемы устных
вычислений.
Перед собой поставили цель:
Рассмотреть интересные способы выполнения некоторых арифметических действий и предложить собственные приёмы вычислений.
Слайд 3
Для достижения данной цели определили следующие задачи:
1. проанализировать
информационные ресурсы по указанной теме;
2. изучить и обобщить некоторые
интересные приёмы устных вычислений;
3. изобрести свои интересные приёмы вычислений;
4. создать презентацию по теме исследования.
Гипотеза: если владеть приёмами устного счёта, то можно обойтись без калькулятора и длительных вычислений в столбик.
Методы исследования, использованные в работе:
1. Метод индукции.
2. Метод обобщения.
3. Метод описания.
4. Метод эксперимента.
5. Метод анализа.
Слайд 4
Исторические факты, подтверждающие значимость умственного счёта в жизни
людей.
«Способность к умственному счёту полезна и в отношении практическом,
и как средство для здоровой умственной гимнастики». Эти слова принадлежат известному педагогу просветителю Сергею Александровичу Рачинскому.
Слайд 5
В своей деятельности огромное внимание он уделял знакомству
с числами. Ему было не безразлично, например, что 40
не только = 23*5, но также 30+31+32+33.
Что 365 не только = 5*73, т.е. 5*( 80+81+82), но также 102+112+122 = 132+142 = (172+212)/2 и т. д.
Слайд 6
«Математика –царица наук, а арифметика – царица математики»
Величайшему
механику и математику древности Архимеду 212 г. удалось расширить
натуральный ряд до небывалых размеров. А еще за триста лет до Архимеда большой вклад в развитие науки о числе внёс Пифагор и его школа. Этот учёный и его последователи считали, что основой всего мироздания является число.
Слайд 7
Интересным свойством обладают числа 135 и 144: 135=(1+3+5)*1*3*5;
144=(1+4+4)*1*4*4; т.е. эти числа равны произведению своих цифр на
сумму этих цифр.
А разве не удивительным свойством обладает «обыкновенное» число 37?
37*3=111, 37*6=222, 37*9=333, 37*12=444, 37*15=555, 37*18= 666, 37*21=777, 37*24=888, 37*27=999.
Или 37*(3+7)=33+73, (32+72)-3*7=37.
Слайд 8
А разве не удивительно, что сумма любого количества
последовательных нечётных чисел, начиная с единицы, всегда даёт точный
квадрат. В самом деле, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42 и т. д.
А разве не поразительно, что сумма кубов натурального ряда чисел, начиная с 1, равна квадрату суммы этих чисел.
В самом деле, 13+23=1+8=9=(1+2)2, 13+23+33=1+8+27=36=(1+2+3)2 и т. д.
Слайд 9
Некоторые приёмы устных вычислений
Умножение на 11.
Чтобы умножить
любое двузначное число на 11, просто сложите эти 2
цифры вместе и поместите их сумму посередине.
Например, если вы хотите умножить 53 на 11, сложите 5 + 3, получите восьмерку и разместите посерединке между 5 и 3, и это даст правильный ответ 583.
Если сумма двух цифр равно 10 или более, просто прибавьте это число к левой цифре. Например, если вы хотите умножить 97 на 11, сложите 9+7=16. 6 поместите посередине, а 1 прибавьте к 9, что дает правильный ответ – 1067.
Умножение на 111.
Рассмотрим примеры: если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111, 11111 и т. д.:
24*111 = 2(2 + 4)(2 + 4)4 = 2664.
36*1111 = 3(3 + 6)(3 + 6)(3 + 6)6 = 39996.
Слайд 10
Быстрое возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на пять
Для этого надо отбросить от числа эту пятерку и
умножить на следующее число, а потом приписать 25. Например: 25х25 = 625 (2*3 = 6, приписать 25). 135х135 = (13х14 = 182, приписать 25) 18225.
Умножение на 99 выполняется по формуле:
АС * 99 = (АС – (А+1)) * 100 + (100 – С),
где С – две (т.к. 99 = 100 – 1) заключительные цифры числа, а А – цифры слева от С.
368 * 99 = (368 – (3 + 1)) * 100 + (100 – 68) = 36400 + 32 = 36432.
Умножение на 999 выполняется по формуле:
АС * 999 = (АС – (А + 1)) * 1000 + +(1000 – С),
где С – три (т.к. 999 = 1000 – 1) заключительные цифры числа, а А – цифры слева от С.
368 * 999 = (368 – (0 + 1)) * 1000 + (1000 – 368) = 367000 + 632 = 367632.
Слайд 11
Мои открытия свойств некоторых чисел и связанных с
ними
приёмы вычислений.
Метод Трахтенберга.
Умножение на 12
Правило: чтобы умножить на
12:
Начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседом подразумевается цифра справа.)
Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Слайд 12
Пример: 316 × 12 = 3 792:
В этом
примере:
последняя цифра 6 не имеет соседей.
6 — сосед единице — 1.
единица —
1 соседка тройке — 3.
тройка — 3 соседка двум добавленным слева нулям.
второй добавленный ноль сосед первому.
6 × 2 = 12 (2 переносим 1)
1 × 2 + 6 + 1 = 9
3 × 2 + 1 = 7
0 × 2 + 3 = 3
0 × 2 + 0 = 0
Слайд 13
Система счёта Карлуковой Марины:
При умножении обыкновенной дроби на
натуральное число, равное произведению числителя и знаменателя данной дроби,
в результате получаем квадрат числителя.
Примеры:
2/5*10=22=4
3/7*21=32=9
9/4*36=92=81
13/6*78=132=169
При сложении двух дробей с одинаковыми числителями в результате получаем дробь, числитель которой равен произведению суммы знаменателей и числителя, а знаменатель равен произведению знаменателей.
Примеры:
1/2+1/3=(2+3)*1 / 2*3=5/6
1/9+1/6=(9+6)*1 / 9*6=15/54=5/18
3/4+3/7=(4+7)*3 / 4*7=33/28=1 5/28
4/9+4/13=(9+13)*4 / 9*13=88/117
Слайд 14
Разность двух последовательных квадратов натуральных чисел равна сумме
их оснований.
Примеры:
22-12=2+1=3
32-22=3+2=5
Данное правило позволяет возводить числа в квадрат без
таблиц и калькулятора.
Например, 392=?
Решение: 402=1600
402-392=40+39=79
392=1600-79=1521
212=?
Решение:202=400
212-202=21+20=41
212=400+41=441
При умножении дроби на квадрат её знаменателя получается в результате произведение числителя и знаменателя.
Примеры: 2/9 * 81=18; 10/19 * 361=190
Слайд 15
Эксперимент 1.( Помогала проводить учитель математики Балан С.А.)
6а
класс. Участвовало:10 человек.
Даны были 4 примера умножения на 11,
111 и 1111.
Сначала ученики выполнили эти примеры, не зная правил,
Затратили на это 7-8 минут.
Используя правило, они потратили на аналогичные примеры 3-4 минуты.
Эксперимент 2. (проводила Бойцева И.Ю.)
Ученик 8 б класса Гордеев Сергей, который находится на домашнем обучении, узнав о способах умножения на 11, 111 и на 1111, на каждом уроке готов решать примеры, в которых они используются, несмотря на то, что владеет очень слабыми вычислительными навыками.
Наши эксперименты
