Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Комплексные числа

Содержание

СодержаниеОпределение 3Стандартная модель 4Матричная модель 6Арифметические действия 7Геометрическая модель 9Модуль и аргумент 11Множество комплексных чиселс арифметическими действиями 13Сопряжённые числа 14Показательная форма 18Формула Муавра 19Извлечение корней из комплексного числа 20№ стр.
Комплексные числадоклад СодержаниеОпределение	3Стандартная модель	4Матричная модель	6Арифметические действия	7Геометрическая модель	9Модуль и аргумент	11Множество комплексных чиселс арифметическими действиями	13Сопряжённые числа	14Показательная ОпределениеКомплексные числа представляются в виде выражения:z = x + iy,где x, y Стандартная модельКомплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел;запись z Стандартная модельВещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и Матричная модельКомплексные числа можно также определить как:подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 видас обычным матричным сложением Арифметические действияСравнениеx + iy = a + ib равны тогда и только Арифметические действияУмножение(x + iy) ∙ (a + ib) = xa + xib Геометрическая модельЛюбое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:z = Геометрическая модельМодуль можно представить диагональю |z|, проложенной к точке z прямоугольника obza Модуль и аргументПо теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного Модуль и аргументИз этого определения следует, что:  Если a = 0, Множество комплексных чисел с арифметическими действиямиМножество всех комплексных чисел с арифметическими операциями Сопряжённые числаЕсли комплексное число z = x + iy, тоявляется сопряжённым к Сопряжённые числаПереход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию:Произведение и сумма комплексно-сопряженных Сопряжённые числаУмножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое Сопряжённые числаРис. 2Геометрическое представление сопряжённых чиселгде r – модуль числа z, второе обозначение |z| Показательная формаПрименяя к тригонометрической форме комплексного числа z = |z| ∙ (cosφ + Формула МуавраФормула Муавра помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное Извлечение корней из комплексных чиселАналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой Извлечение корней из комплексного числаРис. 3Корни пятой степени из единицы(вершины пятиугольника)
Слайды презентации

Слайд 2 Содержание
Определение 3
Стандартная модель 4
Матричная модель 6
Арифметические действия 7
Геометрическая модель 9
Модуль и аргумент 11
Множество комплексных

СодержаниеОпределение	3Стандартная модель	4Матричная модель	6Арифметические действия	7Геометрическая модель	9Модуль и аргумент	11Множество комплексных чиселс арифметическими действиями	13Сопряжённые

чисел
с арифметическими действиями 13
Сопряжённые числа 14
Показательная форма 18
Формула Муавра 19
Извлечение корней из комплексного

числа 20

№ стр.


Слайд 3 Определение
Комплексные числа представляются в виде выражения:
z = x

ОпределениеКомплексные числа представляются в виде выражения:z = x + iy,где x,

+ iy,
где x, y – вещественные числа;
x – действительная

часть числа z (Rez);
y – мнимая часть числа z (Imz);
i – мнимое число (величина, для которой выполняется равенство i2=-1).

Слайд 4 Стандартная модель
Комплексное число z можно определить как упорядоченную

Стандартная модельКомплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел;запись

пару вещественных чисел;
запись z = x + iy следует

понимать как удобный способ записи такой пары.
Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:


Слайд 5 Стандартная модель
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством

Стандартная модельВещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел

множества комплексных чисел и представлены парами вида (x, 0),

причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел:
Ноль представляется парой 0 = (0, 0);
Единица - -1 = (-1, 0).

Слайд 6 Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как:
подкольцо кольца вещественных матриц 2×2

Матричная модельКомплексные числа можно также определить как:подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 видас обычным матричным

вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет

соответствовать

мнимой единице —


Слайд 7 Арифметические действия
Сравнение
x + iy = a + ib

Арифметические действияСравнениеx + iy = a + ib равны тогда и

равны тогда и только тогда, когда
x = a, y

= b;
Сложение
(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + (y + b)i;
Вычитание
(x + iy) – (a + ib) = (x - a) + (y - b)i;

Слайд 8 Арифметические действия
Умножение
(x + iy) ∙ (a + ib)

Арифметические действияУмножение(x + iy) ∙ (a + ib) = xa +

= xa + xib + aiy + bi2y
= (xa

- yb) + (ya + xb)i;
Деление


В частности


Слайд 9 Геометрическая модель
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать

Геометрическая модельЛюбое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:z

в тригонометрической форме:
z = |z| ∙ (cosφ + i

· sinφ),
где |z| - модуль комплексного числа;
φ – аргумент комплексного числа.
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Слайд 10 Геометрическая модель
Модуль можно представить диагональю |z|, проложенной к

Геометрическая модельМодуль можно представить диагональю |z|, проложенной к точке z прямоугольника

точке z прямоугольника obza (рис. 1).
рис. 1
Геометрическое представление комплексного

числа

Слайд 11 Модуль и аргумент
По теореме Пифагора легко вывести формулу

Модуль и аргументПо теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля

для нахождения модуля комплексного числа:

Угол φ между положительной полуосью

действительной оси Rez и радиус-вектором |z|, проведённым из начала координат к соответствующей точки, является аргументом комплексного числа z.
Аргумент не определён для единственного числа: z = 0.

Слайд 12 Модуль и аргумент
Из этого определения следует, что:


Модуль и аргументИз этого определения следует, что:  Если a =





Если a = 0, то z является мнимым

числом;
Если b = 0, то z является действительным числом.

Слайд 13 Множество комплексных чисел с арифметическими действиями
Множество всех комплексных

Множество комплексных чисел с арифметическими действиямиМножество всех комплексных чисел с арифметическими

чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом C.
Для

любых z, z1, z2 є C имеют место следующие свойства модуля:
|z| ≥ 0;
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;
|z1 ∙ z2|= |z1| ∙ |z2|;


Слайд 14 Сопряжённые числа
Если комплексное число z = x +

Сопряжённые числаЕсли комплексное число z = x + iy, тоявляется сопряжённым

iy, то
является сопряжённым к z.
На комплексной плоскости сопряжённые числа

получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси (рис. 2). Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Слайд 15 Сопряжённые числа
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную

Сопряжённые числаПереход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию:Произведение и сумма

операцию:

Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:

;
.
Другие соотношения:
;
.

Слайд 16 Сопряжённые числа
Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при

Сопряжённые числаУмножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на

комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для

устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Слайд 17 Сопряжённые числа
Рис. 2
Геометрическое представление сопряжённых чисел
где r –

Сопряжённые числаРис. 2Геометрическое представление сопряжённых чиселгде r – модуль числа z, второе обозначение |z|

модуль числа z, второе обозначение |z|


Слайд 18 Показательная форма
Применяя к тригонометрической форме комплексного числа z =

Показательная формаПрименяя к тригонометрической форме комплексного числа z = |z| ∙ (cosφ

|z| ∙ (cosφ + i · sinφ)
формулу Эйлера, получим

показательную форму:
z = |z|eiφ,
где eiφ - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Слайд 19 Формула Муавра
Формула Муавра помогает возводить в целую степень

Формула МуавраФормула Муавра помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число,

ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме.

где r — модуль;
φ — аргумент

комплексного числа.
В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом n, необязательно положительном.

Слайд 20 Извлечение корней из комплексных чисел
Аналогичная формула применима также

Извлечение корней из комплексных чиселАналогичная формула применима также и при вычислении

и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

где

n > 1 и k = 0, 1, …, n – 1.
Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в начале координат (рис. 3).

  • Имя файла: kompleksnye-chisla.pptx
  • Количество просмотров: 118
  • Количество скачиваний: 0