Презентация на тему Математические понятия и методика их изучения в школьном курсе математики

понятий: содержание, объем;
Пути конструирования понятий;
Классификация понятий
Определения математических понятий
Способы определения,

структура определения;
Виды определений
Требования к корректности определений
Методики изучения понятий и схемы их применения
Методы формирования понятий;
Организация усвоения понятий (этапы формирования);
Основные приемы действий с понятиями;
Система упражнений, направленная на формирование понятия.

и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального

мира.

Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.

В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть

сходными или различными

признаки

существенные

несущественные

Существенные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

помощью синтеза существенных признаков объекта
Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных

признаков

Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

признаков объектов, охватываемых данным понятием.

Объем понятия – совокупность всех

объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено.

Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.

его содержание;

Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

в объем другого понятия, то
понятие с меньшим объемом

называется «видовым»,
понятие с большим объемом называется «родовым».

Если в понятие входит только один элемент, оно называется «единичным»

указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах

которого определяются понятия).
Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы
Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают.
Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают.
Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

Х
Признак а называется необходимым или основным признаком понятия

А, если признаком а обладает любой объект из Х.
Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х.
Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.

понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от

видового к родовому понятию).

Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.

понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от

родового к видовому понятию).

Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.

объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)

Классификации

считается правильной, если:
признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации;
понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые;
сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия;
в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

на два (три) противоречащих понятия;
иерархическая, где каждый член является

соподчиненным понятием;
последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.

При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

которой раскрывается содержание нового понятия через перечисление его существенных

признаков;
математическое предложение, в котором раскрывается содержание понятия через перечисление совокупности условий, необходимых, и достаточных для отделения класса объектов, принадлежащих какому-либо понятию, и вводится термин, обозначающий выделенный класс.

– это значит свести его к уже известным понятиям

и тем самым раскрыть его содержание.

В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.

через показ, демонстрацию.

Вербальное определение – описание объекта словами.

Явное определение

– прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно.

Неявное определение - не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание).

признаки связаны союзом «и»;

дизъюнктивная структура – в определении признаки

связаны союзом «или»;

импликативная структура – в определении признаки связаны отношением следования (в терминах «если …, то…»)

– вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл

ранее введенных объектов.

Реальные определения – фиксируются свойства новых определяемых объектов.

отличий)
Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются

видовые отличия понятия.
Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия.
Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества.
Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность.

отделять данное понятие от других;
количество признаков должно быть минимальным

для отделения данного понятия;
признаки должны быть независимыми.

получения нового понятия;
определение типа и вида определения;
определение структуры

определения;
раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия);
определение корректности определения.

равны
Конструируется с помощью ограничения: к свойствам прямоугольника добавляется отделимый

признак равенства всех сторон.
Определение явное и реальное: с помощью слов фиксируются свойства квадрата.
Структура конъюнктивная: признаки соединены союзом «и».
Ближайший род – прямоугольник.
Видовые отличия задаются перечислением: все стороны равны.
Определение не вполне корректное: избыточное.

понятием
Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы,

отбор содержания.
Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация.
Введение понятия и его определения - организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение,

классификация, абстрагирование;
через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие;
на основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие;
рассматриваются примеры и контрпримеры;
понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения.

науке (или учебнике) определение нового понятия;
через рассмотрение частных примеров

и контрпримеров осуществляется конкретизация определения;
понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

А затем формируется навык ее применения.

Компактный метод – запоминание

формулировки происходит одновременно с приобретением навыка по ее применению.

Алгоритмический метод – запоминание и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

обогащающей модели обучения М.А. Холодной)
Мотивировка - создание условий для

осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта.

Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия.

Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания.

Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания.
Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.

соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина

)

формирование мотивации введения нового понятия;
представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД;
организация работы учащихся с понятиями, позволяющей контролировать и ее ход, и ее результат;
организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю.

понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление

факта возможности называть объект связанным с понятием термином.
Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении.

упражнения – основное средство формирования понятий.

Системообразущий фактор
Этапы
формирования понятия
(система

Г.И. Саранцева)

Структура понятийной познавательной деятельности
(система М.А. Холодной)

построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам;
на распознавание объектов, принадлежащих объему

понятия;
на выделение следствий из определения понятия;
на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия;
на применение понятий в разных ситуациях;
на систематизацию понятий.

словесно-образному переводу разной степени общности;
на выделение признаков усвояемого понятия;
на

включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями;
на развитие мыслительных операций. лежащих в основе образования понятия;
на подключение предметного опыта учащихся.