Слайд 2
Предмет математики:
Родовое понятие.
Видовое отличие.
Слайд 3
Объем и содержание понятий.
Понятие - форма мышления,
в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов. (Например: «апельсин»,
«фрукт», «трапеция», «белизна», «река Нил», «ураганный ветер»)
Признаком предмета называется то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются.
Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. (Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: «быть параллелограммом» и «иметь равные стороны».)
Слайд 4
Виды признаков
Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый
отдельно, необходим, а все вместе взятые достаточны, чтобы с
их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и обобщить однородные предметы в класс.(Например, одним из существенных признаков понятия «человек» является наличие сознания.)
Несущественные - это преходящие, второстепенные признаки, приобретая или теряя которые, предмет остается самим собой. (Например, несущественным признаком понятия «человек» является цвет его волос, вес, рост и др.)
Слайд 5
Родовое понятие и видовое отличие
Рассмотрим определение параллелограмма: «Параллелограммом
называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны».
Как видим, это
определение построено так:
Сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства:
параллелограмм — это четырехугольник;
противоположные стороны параллельны.
Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника.
Слайд 6
Объем понятия
Объем понятия - это множество предметов, каждому из
которых принадлежат признаки, относящиеся к содержанию понятия.
Например, объем
понятия «река» включает в себя множество, состоящее из рек, носящих имена Обь, Иртыш, Енисей, Волга и др. Объём понятия «ученик» включает в себя всех людей, которые когда-либо учились (чему-нибудь и как-нибудь), учатся сейчас или будут учиться.
Автомобиль - транспортное средство, имеющее двигатель, кузов, колеса и устройство управления. Это содержание понятия, а его объемом являются все существующие в мире автомобили.
Слайд 7
Задание
Укажите хотя бы один элемент объема понятия:
1. Президент
2. Алфавит
4. Текст
5. Поезд
6. Мелодия
7. Студенческая группа
9. МГУ
имени М.В. Ломоносова
10. Вечный двигатель
11. Русский алфавит
12. Созвездие
Слайд 8
Высказывания и высказывательные формы
Высказыванием в математике называют предложение,
относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
Например,
предложения 1, 2, 4, 5 и 6 приведенные выше, есть высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, 2 – ложное.
Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «л».
«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.
Слайд 9
Предложение х+5=8 не является высказыванием, так как о
нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при
подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Например, если х=2, то 2+5=8- ложное высказывание, а при х=3 оно обращается в истинное высказывание 3+5=8. Предложение х+5=8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.
По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х,у) и т.д. Например, х+5=8 – одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая х параллельна прямой у» – двухместная.
Слайд 10
Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказываний и высказывательных форм
1. Отрицание.
Эта
логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не».
Отрицанием высказывания x называется
новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
Отрицание высказывания x обозначается x̅ и читается «не x». Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы, которая называется таблицей истинности:
Слайд 11
Дизъюнкция
(логическое сложение).
Дизъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое
считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y истинно и
ложным, если они оба ложны.
Дизъюнкция высказываний x, y обозначается x∨y и читается «x или y». Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:
Пример.
x – «5>3», y – «2>4». Тогда x∨y – «5>3»v«2>4» истинно, так как истинно высказывание x.
Слайд 12
Конъюнкция
Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным,
если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно
из них ложно.
Конъюнкция высказываний x, y обозначается x∧y и читается «x и y». Высказывания x, y называются членами конъюнкции. Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
Пример.
x – «6 делится на 2», y – «6 делится на 3». Тогда x∧y – «6 делится на 2»∧«6 делится на 3» истинно.
Слайд 13
Способы математического доказательства
Определение: Математическое доказательство — рассуждение с целью
обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая,
что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.
Слайд 14
Прямое доказательство
Прямое доказательство предусматривает применение только непосредственного дедуктивного вывода
из считающихся верными утверждений (аксиом, ранее доказанных лемм и
теорем), без использования суждений с отрицанием каких-либо утверждений.
Индуктивный метод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, наиболее интересен в применении к бесконечным совокупностям объектов, но её формулировки и применимость существенно отличаются в зависимости от сферы применения.
Доказательства от противного устроены так. Делают предположение, что верно утверждение B, противное, то есть противоположное, тому утверждению A, которое требуется доказать, и далее, опираясь на это B, приходят к противоречию; тогда заключают, что, значит, B неверно, а верно A.
Слайд 15
Доказательство методом перебора
Требуется доказать, что среди целых неотрицательных
чисел, меньших числа 420, нет других корней уравнения
(x+2008)(x−3)(x−216)(x−548)=0,
кроме чисел 3 и 216. Доказательство: последовательно перебирая числа 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, ... , 213, 214, 215, 217, 218, 219, ... , 417, 418, 419 и подставляя их в уравнение, убеждаемся, что ни одно из них не обращает в нуль левую часть. Это есть типичное доказательство методом перебора.
Слайд 16
Кванторы
∀ - квантор всеобщности
∃ - существования
⇒ - следование
⇔
- равносильность
∧ и ∨ - Конъюнкция и дизъюнкция
¬ -
отрицание
= - равенство
∈ и ∉ - Принадлежность и непринадлежность
⊆ и ⊇ - подмножество и надмножество
{ } – множество ({|} - Множество элементов, удовлетворяющих условию)
∅ - пустое множество
∪ и ⋂ - объединение и пересечение
Слайд 17
Решение задач на распознавание объектов.
Дайте определение квадрата через
понятие прямоугольник. Пользуясь данным определением, укажите условия, при котором
фигура будет являться квадратом
-Выявите логическую структуру следующих предложений
Параллельные прямые- это две прямые принадлежащие плоскости и непересекающиеся или совпадающие.
Слайд 18
Построение высказываний с кванторами.
Ква́нтор — общее название для
логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего
упоминают:
Квантор всеобщности (обозначение :∀ , читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»).
Квантор существования (обозначение: ∃ , читается: «существует…» или «найдётся…»).
Предика́т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — это то, что утверждается о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.
Слайд 19
Пример
Обозначим P(x) предикат «x делится на 5». Используя квантор всеобщности, можно формально
записать следующие высказывания (конечно, ложные):
любое натуральное число кратно 5;
каждое натуральное число
кратно 5;
все натуральные числа кратны 5;
следующим образом: (∀ x∈ ℕ)P(x)
Слайд 20
Пример
Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:
существуют натуральные числа,
кратные 5;
найдётся натуральное число, кратное 5;
хотя бы одно натуральное
число кратно 5.
Их формальная запись: (∃ x∈ ℕ)P(x)
Слайд 21
Задание:
Записать, используя кванторы, высказывания и определить ложно оно
или истинно:
Существует целое четное число
Все целые числа четные
Найдется простое
натуральное число
Любое натуральное число является простым
Множество всех простых чисел является подмножеством натуральных чисел.
Слайд 22
Решение:
1. Существует целое четное число
Введем предикат P(x) –
«x - четное», получим:
(∃ x∈ℤ)P(x). Читается «существует целое число
x, которое четно». Истинно, так как среди целых чисел есть четные (2, 4, 6, …).
2. Все целые числа четные
(∀ x∈ℤ)P(x). Читается «любое целое число x - четное». Ложно, так как не все целые числа четные (1, 3, 5, …).
3. Найдется простое натуральное число
Введем предикат P(x) – «x - простое число», получим запись (∃ x∈ℕ)P(x). Читается «существует натуральное число x, которое делится только на себя и на единицу». Истинно, так как среди натуральных чисел найдутся простые (2, 3, 5, 7, 11, 13, …).
4. Любое натуральное число является простым
(∀ x∈ℕ)P(x). Читается «любое натуральное число - простое». Ложно, так как среди натуральных чисел есть такие, которые простыми не являются (4, 6, 9, …)
5. Множество всех простых чисел является подмножеством натуральных чисел.
Пусть существует множество М простых чисел m1, m2, … , mn, и множество ℕ натуральных чисел n1, n2, … , nn . Все элементы М также принадлежат множеству ℕ. Введем предикат P(x) – «x - натуральное». Получим равносильные записи:
(∀ m∈ℕ)P(x) и М⊆ℕ ⇔ℕ⊇М. Читается «каждое натуральное число m является натуральным. Множество М является подмножеством множества ℕ, равносильно высказыванию ℕ - надмножество множества М».
