Презентация на тему Непрерывно-детерминированные, дискретнодетерминированные, дискретно-вероятностные и непрерывно-вероятностные модели

величины могут быть двух типов — дискретные, т. е.

принимающие «оторванные» друг от друга значения, допускающие естественную нумерацию, и непрерывные, принимающие все значения из некоторого интервала. Возможен также смешанный случай, например, когда величина на каком-то интервале своих значений ведет себя, как дискретная, а на другом — как непрерывная. (Эти определения не являются исчерпывающими, но для нас они достаточны.)

5

Непрерывные модели.

Дискретные модели.

Стохастические модели

Модели — как содержательные, так и математические — могут

быть либо дискретными, либо непрерывными, либо смешанными. Между этими типами нет принципиального барьера и при уточнении или видоизменении модели дискретная картина может стать непрерывной и обратно; то же может произойти в процессе решения математической задачи.
Таким образом, во многих задачах при составлении математической модели, а также при выборе метода ее исследования надо учитывать возможность применения как «дискретного», так и «непрерывного» аппаратов (например, для дискретных моделей характерно применение сумм, а для непрерывных — производных и интегралов) независимо от характера исходной картины.

установить и на некотором языке описания (например, средствами математики)

охарактеризовать зависимость каждой из выходных переменных от входных. Связь между входными и выходными переменными моделируемого объекта в принципе может характеризоваться графически, аналитически, т.е. посредством некоторой формулы общего вида, или алгоритмически. Независимо от формы представления конструкта, описывающего эту связь, будем именовать его оператором вход-выход и обозначать через В.

– выходов, Z – состояний системы. Схематически можно это

изобразить: X Z Y.
Рассмотрим теперь наиболее существенные с точки зрения моделирования внутренние свойства объектов разного класса. При этом придется использовать понятие структура и параметры моделируемого объекта. Под структурой понимается совокупность учитываемых в модели компонентов и связей, содержащихся внутри объекта, а после формализации описания объекта – вид математического выражения, которое связывает его входные и выходные переменные (например: у=au+bv). Параметры представляют собой количественные характеристики внутренних свойств объекта, которые отражаются принятой структурой, а в формализованной математической модели они суть коэффициенты (постоянные переменные), входящие в выражения, которыми описывается структура (а и b).

(включая, при необходимости, время) могут принимать несчетное множество сколь

угодно близких друг к другу значений называются непрерывными или континуальными. Подавляющее большинство реальных физических и теоретических объектов, состояние которых характеризуется только макроскопическими физическими величинами (температура, давление, скорость, ускорение, сила тока, напряженность электрического или магнитного полей и т.д.) обладают свойством непрерывности. Математические структуры, адекватно описывающие такие объекты, тоже должны быть непрерывными. Поэтому при модельном описании таких объектов используется главным образом, аппарат дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Объекты, переменные которых могут принимать некоторое, практически всегда конечное число наперед известных значений, называются дискретными. Примеры: релейно-контактные переключательные схемы, коммутационные системы АТС. Основой формализованного описания дискретных объектов является аппарат математической логики (логические функции, аппарат булевой алгебры, алгоритмические языки). В связи с развитием ЭВМ дискретные методы анализа получили широкое распространение также для описания и исследования непрерывных объектов.

(совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и входы,

выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Z, Т, Х, Y ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность — к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействий и др.) в общем случае не ведет к дискретности модели в целом. Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояний системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Типичный пример последнего – замена непрерывной математической функции на набор ее значений в фиксированных точках.

реализации ММ, представляемых ДУЧП или системами ОДУ, используются численные

методы непрерывной математики, поэтому рассмотренные ММ называют непрерывными.

 

перехода от исходных формулировок задач к рабочим про­граммам, представляющим

собой последовательности элементар­ных арифметических и логических операций. Стрелками 1, 2 и 3 показаны переходы от описания структуры объектов на соответст­вующем иерархическом уровне к математической формулировке задачи. Дискретизация (4) и алгебраизация (5) ДУЧП по прост­ранственным переменным осуществляются методами конечных разностей (МКР) или конечных элементов (МКЭ). Применение МКР или МКЭ к стационарным ДУЧП приводит к системе алгеб­раических уравнений (АУ), а к нестационарным ДУЧП—к системе ОДУ. Алгебраизация и дискретизация системы ОДУ по переменной t осуществляются методами численного интегрирования. Для нелинейных ОДУ (6) это преобразование приводит к системе нелинейных АУ, для линейных ОДУ (7) — к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Нелинейные АУ решаются итерационными методами. Стрелка 8 соответствует решению мето­дом Ньютона, основанному на линеаризации уравнений, стрелка 9—методами Зейделя, Якоби, простой итерации и т. п. Решение системы ЛАУ сводится к последовательности элементарных опера­ций (10) с помощью методов Гаусса или LU-разложения.

Непрерывные ММ и используемые для их

анализа методы вы­числительной математики получили широкое распространение в САПР различных отраслей промышленности.
Создание методики автоматического формирования математических моделей систем позволило автоматизировать процедуры анализа и верификации широкого класса технических объектов. Инвариант­ный характер этой методики обусловил разработку на ее основе методов и алгоритмов, реализованных во многих ПМК проектиро­вания электронных, механических, гидравлических, теплоэнергети­ческих устройств и систем. Известны такие методы формирования ММ как узловой метод, контурный метод, метод перемен­ных состояния.

Дискретной математической моделью

называется модель, в которой выполнена дискретизация тех или иных переменных. Рассмотрим ММ, в которых дискретными являются зависимые переменные, ха­рактеризующие состояние моделируемого объекта.
Проектирование систем на функционально-логическом и системном уровнях основано на применении дискретных ММ. При моделировании в подсистемах функционально-логического проектирования принимаются те же допущения, что и при моделировании аналоговых систем на верхних уровнях. Кроме того, моделируемый объект представляется совокупностью взаимосвязанных логических элементов, состояния которых харак­теризуются переменными, принимающими значения в конечном множестве. В простейшем случае это множество {0, 1}. Непрерыв­ное время t заменяется дискретной последовательностью моментов времени tк, при этом длительность такта .

Следовательно, математической моделью объекта является конечный автомат (КА). Функционирование КА описывается системой логических уравнений КА

На системном уровне проектирования систем преимущест­венно распространены модели

систем массового обслуживания (СМО). Для таких моделей характерно то, что в них отображают­ся объекты двух типов—заявки на обслуживание и обслуживаю­щие аппараты (ОА). При проектировании ВС заявками являются решаемые задачи, а обслуживающими аппаратами—оборудование ВС. Заявка может находиться в состоянии «обслуживание» или «ожидание», а обслуживающий аппарат—в состоянии «свободен» или «занят». Состояние СМО характеризуется состояниями ее ОА и заявок. Смена состояний называется событием. Модели СМО используются для исследования процессов, происходящих в этой системе при подаче на входы потоков заявок. Эти процессы представляются последовательностями событий. По результатам исследования определяются наиболее важные выходные параметры системы: производительность, пропускная способность, вероятность и среднее время решения задач, коэффициенты загрузки оборудования.

СМО

Появление параллельных и конвейерных систем, необходимость мо­делировать

процессы функционирования не только аппаратных, но и программных средств привело к появлению класса дискретных ММ, называемых сетями Петри. Сети Петри можно использовать для моделирования на функционально-логическом и системном уровнях проектирования широкого круга систем и сетей.


Сети Петри и СМО широко используются для описания функционирования производственных участков, линий и цехов, ориентиро­ванных на многономенклатурное производство изделий. Сети Петри — эффективный инструмент разработки самих САПР. Эти сети могут служить моделями алгоритмов функционирования различных устройств дискретной автоматики.

В комбинированных дискретно-непрерывных моделях неза­висимые переменные могут

изменяться как дискретно, так и непрерывно. В рамках методологии комбинированного моделирования исследуемая система описывается с помощью элементов, их атрибутов и переменных состояния. Поведение системы имитируется путем вычисления значений переменных состояния через небольшие отрезки времени и значений атри­бутов элементов в моменты свершения событий.

в которой параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого

объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. Моделируются, напр., стохастические процессы в теории массового обслуживания, в сетевом планировании и управлении и в других областях. При построении С. м. применяются методы корреляционного и регрессионного анализов, другие статистические методы. Другие названия С. м. — недетерминированная, вероятностная модель (см. также Вероятностная система).

Васильев, Л.А. Симак, А.М. Рыбникова. Математическое и компьютерное моделирование

процессов и систем в среде MATLAB/SIMULINK. Учебное пособие для студентов и аспирантов. 2008 год. 91 стр.

Компьютерное моделирование физических задач в Microsoft Visual Basic. Учебник Author: Алексеев Д.В. СОЛОН-ПРЕСС, 2009 г