Презентация на тему Основные понятия теории вероятности

возможных комбинаций составленных по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел

математики занимающийся их решением называется комбинаторикой.

Правило умножения

Сочетания

Перестановка

Размещения

Правило сложения

и умножения вероятностей

вероятности
Случайные события. Операции над событиями

вероятностей. Условная вероятность
Формула полной вероятности.
Формула Байеса

что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности,

теория вероятностей изучает эти закономерности.
Математическая статистика это наука изучающая методы обработки результатов наблюдения массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, с целью выявления этих закономерностей

то K действий при чем 1 действие можно выполнить

а1 способами, 2 действие – а2 способами, и так до K-го действия , которое можно выполнить ак способами, то все K действий вместе могут быть выполнены а1 · а2 · а3 …ак способами.

4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ?

Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4·3·2·1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 · 24=576 способами.

конечное число действий
Если два действия взаимно исключают друг друга,

при чем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами.

по m равно
Размещением из n элементов по

m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов

Пример задачи

страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать

, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

назад

множество, в которое входят по одному разу все n

различных элементов данного множества

Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!

Пример задачи

3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3
2)

Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

назад

любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему

из n различных элементов

Теорема: Число сочетаний из n по m равно

Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

Пример задачи

5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров

, что бы среди них были 3 черных ?
Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй-
не более 9 человек ?

Способов выбора черных шаров

По правилу умножения искомое число способов равно

Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:

Подгруппа из 3 человек

Подгруппа из 4 человек

Подгруппа из 5 человек

назад

происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление

комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

далее

если появление события А влечет за собой появление события

В.
События А и В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не четного).
События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент).

назад

далее

называются противоположными, если не появление одного из них

в результате испытания влечет появление другого( отрицание А).
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.
События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка).

назад

далее

в наступлении хотя бы одного из них в результате

испытания.

Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары.
А- извлечение черного шара
В- извлечение красного шара
С- извлечение белого шара
А+В – извлечен черный или красный шар
В+С – извлечен красный или белый шар
А+С – извлечен черный или белый шар

назад

далее

в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Пример: происходят следующие события:
А- из колоды карт вынута ”дама”
В- вынута карта пиковой масти
А∙В – событие – вынута карта “дама пик”

назад

возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных

и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

N – число всех исходов испытания
М – число исходов благоприятствующих событию А

Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1

2) Вероятность невозможного события равна 0

3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

Пример задачи

шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар

будет белым, черным ?
N=10; М=6; А- Извлечение белого шара
N=10; М=4; А- Извлечение черного шара

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он:
А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый

N=10; М=2

N=10; М=4

N=10; М=0

N=10; М=4

назад

многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих

опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей попарно несовместных
событий, образующих полную группу , равна 1.

далее

равна 1
Вероятность появления хотя бы одного из

двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

назад

называется вероятность события В, вычисленная

в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

далее

числа событий равна произведению вероятности одного из них на

условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:
Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn-1(Аn);
РА1А2А3…Аn-1(Аn) – вероятность появления события Аn , вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn-1 произошли

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

назад

может наступить только при условии появления одного из событий

H1, H2, H3,…,Hn , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на соответствующую условную вероятность события А :

Формула полной вероятности

далее

В3,…,Вn которые образуют полную группу событий и при наступлении

каждого из них Вi событие А может наступать с некоторой условной вероятностью

Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А

Сколько бы не было вероятностей:

назад

далее

может наступить при условии появления одного из несовместных событий,

В1, В2, В3,…,Вn , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:

назад

в каждом из которых вероятность появления события равна Р

, Р(0<Р<1) , событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли

q=1-p ; q- вероятность противоположного события

или

Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений.

Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно.
Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции

далее

испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу-

формулу Пуассона. Теорема:
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= , то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна

назад