Презентация на тему Показательные уравнения

переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто

сводится к решению уравнения вида ,
где a>0, а 1, х – неизвестное.
Эти уравнения решаются с помощью свойства
степени: степени с одинаковыми основаниями
a>0, а 1 равны только тогда, когда равны их
показатели.

типы их решения.
1. Решение уравнений с использованием свойств показательной

функции:
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Так как 0,125=125/1000=1/8, 0,25=1/4 и 2=2 , то уравнение примет вид:
или



Т.к. 2>0, 2 1, то –3+4х–16 =2,5х или 1,5х=19, 3х=38, х=


ОТВЕТ: х=

уравнение

Решение.
Так как

, то уравнение запишется в виде

или



Пусть , , тогда получим или ,
откуда t=2, t=4. Имеем два уравнения:

1.

2.

ОТВЕТ:

,

,

,

,

,

нет корней, так как

,

,

,

общего множителя за скобку
Пример 3. Решить уравнение

Решение.
Вынесем за скобку - степень с наименьшим показателем.

или

2х– 1=1, х=1

ОТВЕТ:

,

,

х=1

логарифмированием обеих частей
Пример 4.

Решить уравнение

Решение.
Прологарифмируем данное уравнение по основанию
5 (или 2).
Следует заметить, что можно, вообще говоря,
логарифмировать по любому основанию, но не совсем
удачный выбор основания может привести к
громоздким вычислениям.

или

, откуда

ОТВЕТ:

;

,

,

,

,

;

функции.
При решении некоторых типов показательных уравнений используются следующие свойства:
1.

Если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня.
2. Показательное уравнение вида ,
где a>0, b>0, a 1, b 1
имеет единственный корень х=1.
3. Сумма монотонно возрастающих (или монотонно убывающих) функций есть также функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая).

к виду
Так как и

, то получим
Очевидно, что х=3 – корень уравнения.
б) или
Пусть

Найдем
Так как , то функция f(x) – монотонно убывающая, значит х=1 – единственный корень исходного уравнения.

а)

б)

ОТВЕТ: а) 3; б) 1