Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Пределы функций

Содержание

Введение
Математический анализСоставитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования Введение Назначение курса Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Цели преподавания дисциплины Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому Задачи преподавания На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, Литература Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий Контроль Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных Аттестации Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия Пределы и непрерывность1. Определение предела функции.2. Односторонние пределы.3. Бесконечно малые и бесконечно Лекция 1 Пределы функций Определение функции Если каждому элементу х∈Х поставлен в Обратная функция Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) Определение окрестности Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал α < Определение предельной точкиδ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, Определение предела Число А называется пределом функции f(x) в точке а Другое определение предела Говорят, что число А является пределом функции f(x) Утверждение Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо а Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о а На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x) Односторонние пределы Односторонние пределы Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка Односторонние пределы Символически запись Односторонние пределы Односторонние пределы Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет Бесконечно малые и бесконечно большие Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если Функция f(х) называется бесконечно большой при Лемма. Если f(х)→∞ при х→а, Лекция 2 Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Теорема 2. Произведение конечного числа Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию, Следствие. Целая положительная степень Если Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x), Теоремы о пределах Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и Пример Найти Пример Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и Пример Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на Пример Еще один пример. Вычислить Положим . Признаки существования предела «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут? Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к Первый замечательный предел Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти Второй замечательный предел Второй замечательный предел: Примеры Вычислим = Примеры Найти Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам. Теорема. Если при бесконечно
Слайды презентации

Слайд 2 Введение


Введение

Слайд 3 Назначение курса
Математический анализ является фундаментальной дисциплиной,

Назначение курса Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования.

составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов

с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются традиционные классические методы математического анализа

Слайд 4 Цели преподавания дисциплины
Развитие интеллекта и способностей

Цели преподавания дисциплины Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому

к логическому и алгоритмическому мышлению;
Обучение основным математическим

методам, необходимым для анализа и моделирования технических и других задач.

Слайд 5 Задачи преподавания
На примерах продемонстрировать студентам

Задачи преподавания На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить

сущность математических методов, научить приемам исследования и решения математически

формализованных простейших задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.

Слайд 6 Литература
Основная литература:
Л. Д.

Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т.

Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая

школа, 1981
Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1987.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука, 1984.

Слайд 7 Литература
Дополнительная литература:
Кудрявцев В. А.,

Литература Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс

Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978.

Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001.
Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

Слайд 8 Контроль
Виды контроля: В процессе обучения студенты

Контроль Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных

должны выполнить 2 контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать

теорию. Кроме того, студенты должны пройти промежуточную аттестацию. Итоговая аттестация предусмотрена в виде экзамена (компьютерное тестирование).

Слайд 9 Аттестации
Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения

Аттестации Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия

итоговой аттестации и условия получения на ней положительной оценки.

Для получения положительной оценки на экзамене студент должен выполнить все контрольные работы, выполнить и защитить все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и регулярно выполнять все домашние задания.

Слайд 10 Пределы и непрерывность
1. Определение предела функции.
2. Односторонние пределы.
3.

Пределы и непрерывность1. Определение предела функции.2. Односторонние пределы.3. Бесконечно малые и

Бесконечно малые и бесконечно большие.
4. Теоремы о пределах.
5. Некоторые

признаки существования предела.
6. Замечательные пределы.
7. Непрерывность.
8. Свойства непрерывных функций.

Слайд 11 Лекция 1

Лекция 1

Слайд 12 Пределы функций

Пределы функций

Слайд 13 Определение функции
Если каждому

Определение функции Если каждому элементу х∈Х поставлен в соответствие

элементу х∈Х поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) ∈

У ,где Х и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу у∈ У поставлен в соответствие хотя бы один элемент х∈Х, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

Слайд 14 Обратная функция
Пусть между элементами множеств X

Обратная функция Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x)

и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то

есть ∀x∈X соответствует один и только один его образ y =f(x) ∈ Y и обратно, для ∀ y ∈ Y найдется единственный прообраз x ∈ X такой, что f(x) = y. Тогда функция ,где y ∈ Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).


Слайд 15 Определение окрестности
Окрестностью О (а) точки а называется

Определение окрестности Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал α

любой интервал α < x < β, окружающий эту

точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.
Под окрестностью О(∞) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [α,β], то есть О (∞) = (-∞,α) ∪ (β,+ ∞).


Слайд 16 Определение предельной точки
δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ),

Определение предельной точкиδ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку

не содержащий точку а, т.е. О (а, δ) =

(а- δ, а)∪(а, а + δ).
Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.

Слайд 17
Точку а мы будем называть предельной

Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если

точкой множества X,
если в любой δ -окрестности

точки а содержится бесконечно много точек x∈X, то есть О (а)∩X ≠ ∅ для ∀ О(а).


Слайд 18 Определение предела
Число А называется пределом функции

Определение предела Число А называется пределом функции f(x) в точке а

f(x) в точке а (или при x→а), если для

любого ε > 0 существует число δ(ε) > 0 такое, что для любого x ∈ X, удовлетворяющего условию
0 < ⎪x – а⎪ <δ, следует неравенство
⎪f (x) – A⎪< ε.

Слайд 19 Другое определение предела
Говорят, что число А

Другое определение предела Говорят, что число А является пределом функции f(x)

является пределом функции f(x) при x→а, если для ∀

ε > 0 существует δ-окрестность точки а О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ},где
δ =δ (ε), такая, что для ∀ x ∈ O (а, δ) выполняется неравенство ⎪f(x) – A⎪ < ε.
При этом пишут:


Слайд 20
Утверждение

Утверждение эквивалентно следующему:

эквивалентно следующему:
⎪f(x) – A⎪ < ε при ⎪x ⎪ > ∆, где ∆ = ∆(ε) зависит от ε и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.
Множество всех точек x, для которых
⎪x⎪ > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ∞.



Слайд 21 Геометрическая иллюстрация









а
А
а-δ
а+δ
А+ε
А-ε
Y=f(x)
х
у
о

Геометрическая иллюстрацияаАа-δа+δА+εА-εY=f(x)хуо

Слайд 22 а
Приведем еще один рисунок, поясняющий определение

а Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.аАА+εА-εа-δа+δхуУ=f(x)0о

предела.

а
А
А+ε
А-ε
а-δ
а+δ
х
у
У=f(x)
0
о

Слайд 23 а
На этом рисунке изображена функция, которая

а На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.аху0Y=f(x)

в точке а не имеет предела.
а
х
у
0
Y=f(x)

Слайд 24 Односторонние пределы

Односторонние пределы

Слайд 25 Односторонние пределы
Любой интервал (α, а), правым

Односторонние пределы Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка

концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки

а.
Аналогично любой интервал
(a, β), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.



Слайд 26 Односторонние пределы
Символически запись

Односторонние пределы Символически запись означает, что х

означает, что х стремится

к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;
запись
означает, что х стремится к а слева, то есть при х < а.

Слайд 27 Односторонние пределы

Односторонние пределы


будем называть

левосторонним пределом
функции (при слева),

- это

правосторонний предел функции.




Слайд 28 Односторонние пределы
Теорема о существовании предела
Функция

Односторонние пределы Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет

у = f(х) имеет

в том и только том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы при .
Tогда = =
=







Слайд 29 Бесконечно малые и бесконечно большие

Бесконечно малые и бесконечно большие

Слайд 30
Функция α(x) называется бесконечно малой при

Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если

х→а, если



Ясно, что тогда ⎪α(x)⎪ ∠ ε для всех x ∈ O(а, δ) и ∀ ε > 0.
Например, функция является бесконечно малой при x→0.



Слайд 31
Функция f(х) называется бесконечно большой при

Функция f(х) называется бесконечно большой при если

если

.
Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех
x ∈ O (а, δ) > M.
Например, бесконечно большая при x→0 .





Слайд 32
Лемма.
Если f(х)→∞ при х→а,

Лемма. Если f(х)→∞ при х→а, →0 при

→0 при х→а.

Если α (x) → 0 при x→ a, то → ∞ при x → a и α (x) ≠ 0.



Слайд 33 Лекция 2

Лекция 2

Слайд 34
Свойства бесконечно малых.

Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного

Теорема 1.
Алгебраическая сумма конечного числа

бесконечно малых при x → а функций есть функция бесконечно малая при x → а.

Слайд 35
Теорема 2.

Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при

Произведение конечного числа бесконечно малых при x →

a функций есть бесконечно малая при x → a функция.

Слайд 36
Теорема 3.
Произведение бесконечно малой при

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию,

x→a функции на функцию, ограниченную при
x → a,

есть бесконечно малая при x → a.


Слайд 37
Следствие.

Следствие. Целая положительная степень

Целая положительная степень

бесконечно малой при x → a функции α(x) есть бесконечно малая при x → a.

Слайд 38

Если

Если , то в силу определения предела функцииполучаем: ⎪f(x)-A⎪

, то

в силу
определения предела функции
получаем: ⎪f(x)-A⎪<ε при
x∈ O(а,δ), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при
x→ a.



Слайд 39
Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x)

Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x),

= A + α(x), где
α(x) →

0 при x → a.
Таким образом, имеем:
<=> f(x) = А+ α(x),
где α(x)→ 0 при x → a.

Слайд 40 Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Слайд 41
Теорема.
Если функция f(х) =

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности

с постоянна в некоторой окрестности точки а, то



Теорема.
Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.




Слайд 42
Функция f(х) называется ограниченной на данном

Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует

множестве Х, если существует такое положительное число М, что

|f(х)| ≤ М при всех х ∈Х.
Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной

Слайд 43
Лемма. Если функция f(х) имеет предел

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то

А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности

точки х = а.
Теорема. Пусть существует
и пусть М < f(x) < N в
некоторой окрестности точки x = a. Тогда М ≤ А ≤ N.
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.


Слайд 44
Теорема 1.
Если в точке а

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x)

существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой

точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём
.




Слайд 45
Теорема 2.
Если в точке

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f

а существуют пределы функций f (x) и g (x),

то существует и предел произведения f(x)⋅g(х), причем

Слайд 46
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

за знак предела.

Слайд 47
Теорема 3. Если в точке а существуют пределы

Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и

функций f(х) и g (x) и при этом

, то
существует и предел частного , причем

.
.



Слайд 48 Пример
Найти

Пример Найти

.



По теореме о пределе частного




Слайд 49 Пример
Найти
Преобразуем данную функцию так, чтобы

Пример Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и

выделить в числителе и знаменателе множитель

, на который и разделим далее числитель и знаменатель:




Слайд 50 Пример
Найти
Преобразуем данную функцию, умножив

Пример Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

числитель и знаменатель на




Слайд 51 Пример
Еще один пример. Вычислить
Положим

Пример Еще один пример. Вычислить Положим .

.



Слайд 52 Признаки существования предела
«Теорема о двух милиционерах»















Признаки существования предела «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут?

куда они меня тащут?








Слайд 53
Теорема (о промежуточной функции).

Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О

Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция

f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при x → a, то есть
и

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:







Слайд 54 Первый замечательный предел
Теорема. Предел отношения синуса

Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к

бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах,

равен единице, то есть

.
Этот предел называют первым замечательным пределом.



Слайд 55 Первый замечательный предел






Это объясняется тем, что

Первый замечательный предел Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти

бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление,

т.е. искривиться.

x

x

y


А

В

Слайд 56 Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:

Второй замечательный предел Второй замечательный предел:

или или




Слайд 57 Примеры
Вычислим



=



Примеры Вычислим =

Слайд 58 Примеры
Найти

Примеры Найти Полагая

Полагая

, получим:



=






Слайд 59
Сравнение бесконечно малых
Две

Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а функции

бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х)

называются бесконечно малыми одинакового
порядка, если k, где k ≠0 и конечно.
При этом пишут: α(х) =О(β(х))


Слайд 60
Две бесконечно малые при х→а функции

Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются

α(х) и β(х) называются эквивалентными при х→а, если

.

Это записывают так:α (x) ≈ β(x) при x→a.



Слайд 61
Бесконечно малая при х→а функция α(х)

Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого

называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией

β(х) при х→а, если
.

В этом случае пишут α(х) = о (β(х)) при x→a.

Слайд 62
Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение

Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.

к первому и второму замечательным пределам.



  • Имя файла: predely-funktsiy.pptx
  • Количество просмотров: 203
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая вода
Следующая - Рентгеновское излучение

Похожие презентации

Презентация по математике на тему Связь между компонентами и результатом умножения. Четные и нечётные числа Презентация по математике на тему Связь между компонентами и результатом умножения. Четные и нечётные числа 134
Измерение углов. Транспортир Измерение углов. Транспортир 118
Презентация по математике Учимся писать цифры от 0 до 9 Презентация по математике Учимся писать цифры от 0 до 9 85
Презентация по математике на тему Сложение чисел с разными знаками Презентация по математике на тему Сложение чисел с разными знаками 114
Устный счет с Незнайкой Устный счет с Незнайкой 118
Урок математики в 3 классе по теме: Знакомство с соотношениям Презентация к уроку Знакомство с соотношениями между ценой, количеством и стоимостью. презентация урока для интерактивной доски по математике (3 класс) Урок математики в 3 классе по теме: Знакомство с соотношениям Презентация к уроку Знакомство с соотношениями между ценой, количеством и стоимостью. презентация урока для интерактивной доски по математике (3 класс) 54
Неопределенный интеграл. (Лекция 1) Неопределенный интеграл. (Лекция 1) 93
Деление с остатком Деление с остатком 131
Дидактическая электронная игра компьютерная программа по математике (подготовительная группа) Дидактическая электронная игра компьютерная программа по математике (подготовительная группа) 116
Устный счет Осенний листопад 3 класс Устный счет Осенний листопад 3 класс 84
Деление с остатком презентация к уроку по математике Деление с остатком презентация к уроку по математике 115
Интегрированный урок по математике и природоведению в 5 а классеИнтегрированный урок природоведения и математики Космическое путешествие во Вселенной Интегрированный урок по математике и природоведению в 5 а классеИнтегрированный урок природоведения и математики Космическое путешествие во Вселенной 148
Конспект НОД по образовательной области Познавательное развитие: формирование элементарных математических представлений в средней группе. Тема: Путешествие в сказку Теремок. план-конспект занятия по математике (средняя группа) Конспект НОД по образовательной области Познавательное развитие: формирование элементарных математических представлений в средней группе. Тема: Путешествие в сказку Теремок. план-конспект занятия по математике (средняя группа) 94
Геометрия в природе Геометрия в природе 125
Презентация по математике на тему Единицы измерения длины. Километр (3 класс) Презентация по математике на тему Единицы измерения длины. Километр (3 класс) 190
m urok65 m urok65 110
Интеграция информатики и математики как средство повышения качества образования Интеграция информатики и математики как средство повышения качества образования 124
Интегрированный урок по математике 4 класс Решение задач методическая разработка по математике (4 класс) по теме Интегрированный урок по математике 4 класс Решение задач методическая разработка по математике (4 класс) по теме 109
Сто к одному Сто к одному 116
Всё о десятичных дробях. 5 класс Всё о десятичных дробях. 5 класс 154
Первый признак равенства треугольников Первый признак равенства треугольников 91
Точечные оценки Точечные оценки 194
Измерение высоты предмета Измерение высоты предмета 98
Тренажёр табличное умножение занимательные факты по математике (3 класс) по теме Тренажёр табличное умножение занимательные факты по математике (3 класс) по теме 117
Наука геометрия Наука геометрия 125
Признаки предметов презентация к уроку по математике (1 класс) Признаки предметов презентация к уроку по математике (1 класс) 106
Дистанционный урок по математике 6 сентября презентация к уроку по математике (2 класс) по теме Дистанционный урок по математике 6 сентября презентация к уроку по математике (2 класс) по теме 99
Дистанционное обучение. За и против. Дистанционное обучение. За и против. 112
Первый признак равенства треугольников Первый признак равенства треугольников 94
Задачи на прямоугольный треугольник Задачи на прямоугольный треугольник 106