Презентация на тему Сечение многогранника плоскостью

плоских многоугольников.
Элементы многогранника: вершины, ребра, грани.

пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности

можно задать следующим образом

а точнее по отрезкам - разрезам.

Так как

заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения

FO.
O
Отрезок FO есть разрез грани

Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

плоскости основания
Проводим прямую АВ до пересечения с прямой

O

Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Аналогичным образом получим точку R.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то

O

Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все
делаем правильно?

пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей

O

G

Ответ

А теперь проверь себя!!!

сечений многогранников
является в достаточной мере
универсальным. В тех

Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим

1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.

B(P’)

2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
определяемой двумя пересекающимися
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.

Р'Q' и R'С, а затем строим прямую MF —

4 В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим
точку F'=PQ пересекается MF.

5. Так как точка F' лежит на
прямой PQ, то она лежит
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит
в плоскости PQR.
Проводим прямую RF',
и находим точку С'=RF' пересекается
МС. Точка С', таким образом,
лежит и на прямой МС, и в плоскости
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).

B(P’)

P

R

Q

М

А

R’

D

C

Q’

F

F’

C’

D'R, А', А'Р, РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение

D’
R’
P
R
Q
М
А
R’
D
Q’
F
C’

Ответ

Удачи вам, в решении задачи!
                                                                           

сечений многогранников состоит в
применении теорем о параллельности

Q.
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
R
P
Q
1. Точки P и R лежат в одной

2. Прямая PR лежит в плоскости
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.

3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема

K

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

получим точку L.
K
L
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет

F

6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.

M

7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.

8. Проведём прямую параллельную
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома Если две различные плоскости
имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

точкам, а потом проверь себя, кликнув по этому рисунку
А

при сечении куба

Нахождение площади сечений
многогранников