Презентация на тему СЛУ. Теорема Крамера. Метод обратной матрицы

называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не

единственный, систему уравнений называют неопределенной.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентные (или равносильные) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

отличен от нуля,  то эта система имеет единственное решение, которое

находится по формулам Крамера.

Если  Δ=0 , а хотя бы один из определителей Δj отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет.
Если Δ=0 и все Δj= 0 (j=1,…,N), то СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

определителя СЛУ Δ заменой j-го столбца столбцом из свободных членов

членами называется однородной, в противном случае – неоднородной. •

Рассмотрим однородную систему из n линейных уравнений с n неизвестными •




Ясно, что в этом случае  все Δj= 0 (j=1,…,N), , так как все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.
Поэтому нулевое решение всегда является решением такой системы. Нулевое решение называется тривиальным решением.
Так как неизвестные находятся по формулам Крамера , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0.
Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения, отличные от нулевого )

нетривиальное

доказать

того, чтобы однородная квадратная система линейных уравнений имела нетривиальное

решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю ∆ = 0.

Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение , а значит x=y=z=0.
Если же Δ= 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

имеет единственное тривиальное решение  x=y=z=0.
Раскладываем определитель по 1 строке

ее на (-2) и складываем со 2-ой. Умножаем 1

строку на (-5) и складываем с 3-ей.

ее на (-2) и складываем со 2-ой. Умножаем 1

строку на (-5) и складываем с 3-ей.

+

матрицы

Если существует квадратная матрица X той же размерности, что

и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X = X·A=E,  то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A−1.

где E— единичная матрица соответствующей размерности:
A·A−1 = A−1·A = E.

определитель ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

В противном случае она называется вырожденной.
Для квадратной матрицы невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:
Матрица обратима, то есть существует обратная матрица;
строки (столбцы) матрицы линейно независимы;
элементарными преобразованиямиэлементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу можно привести к единичной матрице;

Aij — алгебраическое дополнение элемента aij  матрицы A.

Для того, чтобы матрица A была обратима, необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0.
    Обратная матрица единственна.

= B−1·A−1;
 (A−1)−1= A;
  E−1=E;
  A·A−1·A = A;
  матрица,

обратная к диагональной матрице — диагональная матрица;
   матрица, обратная к треугольной матрице — треугольная матрица;
  матрица, обратная к симметричной матрице — симметричная матрица.

= b, где

- матрица коэффициентов системы уравнений;
Индексы коэффициентов аij системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент.

вектор неизвестных, -






вектор правых частей

E · X=А-1·b
X=А-1·b

хотя бы одно решение, в противном случае система несовместна.

Если матрица A является квадратной и имеет обратную матрицу, то система уравнений имеет единственное решение
x = A-1b .

Пример –доказать