Презентация на тему Орнаменты. Уравнения орнаментов

часть известной нам высшей математике.

Герман Вейль (известный математик)

упорядоченных элементов для украшения каких – либо предметов или

архитектурных сооружений.
Орнаменты с давних времен применяются в декоративном искусстве.

выявилось, что их атомы расположены очень правильным образом, образуя

как бы пространственный орнамент. На рисунке изображены проекции пространственных решеток граната, кварца и каменной соли.

орнаментом, если выполнены следующие условия:

(1) среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы.
(2) среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наимень­шей длины.
Если плоский орнамент Ф отображается сам на себя при поворотах вокруг точки А на углы, только кратные 360°/п, где п — натуральное число, большее 1, то точка А называется центром симметрии порядка п этого орнамента Ф.

параллельных переносах только одного направления (и противоположному ему), причем

среди этих переносов существует перенос наименьшей длины, то такая фигура называется линейным орнаментом - бордюром.

Линейные орнаменты.

заполняющие плоскость без промежутков. Такие орнаменты называются паркетами

заштрихованной половинкой, как на рисунке а, — а также

два перемещения плоскости: - поворот вокруг вершины квадрата А на 90°, и f2 = Sa — симметрию относительно прямой а — продолжения стороны квадрата.

Применим к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений f1 и f2 — в произвольном порядке и в любом числе. В результате мы получим совокупность плоских фигур, конгруэнтных Ф — так называемый плоский орнамент (с фундаментальной областью Ф и порождающими перемещениями f1 и f 2)

Построение орнаментов.

наши композиции только к квадрату. Повороты

,
, (рис. а) добавляют к исходному три квадрата. Применив к этим квадратам симметрию f2 = Sa получим уже 8 квадратов — рисунок б. Повторив проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией), получим картинку, изображенную на рисунке в.

Ясно, что применение к исходному квадрату всех возможных композиций перемещений и дает сетку квадратов на плоскости — рисунок г. Теперь мы «вспоминаем» о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по уже готовой сетке с помощью отображений , и их композиций (рис. г):

квадрате Ф — заштриховать какую-нибудь другую «подфигуру», то наши

построения дадут геометрически новый орнамент.

по-разному (имеют разные сетки осей симметрии или разные наборы

порядков центров симметрии — разные «скелеты», — или же разные множества переносов). Начертив эти 15 орнаментов и их скелеты, можно подметить много интересных закономерностей.

получится полный «атлас» плоских орнаментов! Оказывается, существует только 17

различных типов орнаментов, или ровно 17 различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов.

характеризуемым каким – либо уравнением или неравенством (а может

быть системой уравнений или системой неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.

подчас весьма причудливые картинки.

помощью переносов некоторой основной фигуры вдоль некоторого направления. Если

сам линейный орнамент считать основной фигурой и произвести над ним серию переносов вдоль нового направления, то мы получим двумерный орнамент. Повороты основной фигуры на углы, кратные , приводят к круговому орнаменту.