Презентация на тему Структура исследования. Решение модельной задачи (на материале математики). Особенности учебного исследования.

процесса или явления с определенной целью, но с заранее

неизвестным результатом

Основным критерием научно-исследовательской работы является получение объективно новых знаний.

В случае учебного исследования речь может идти о субъективно новых, но самостоятельно добытых знаниях.

В учебно-исследовательских работах следует учитывать фактор доступности информации. Прямое воспроизведение хорошо известных фактов или методов исследованием не считается.

Что такое исследование?

исследования. Формулирование гипотез и проверка их правдоподобности.

Обоснование гипотез.

Изложение результатов

исследования в канонической форме для применения и для обсуждения в научном сообществе.

Практическое применение результатов исследования.

Этапы исследования

Этапы научного исследования выделяют с учетом специфики научной области. Перечень этапов может несколько отличаться для гуманитарного, естественнонаучного и математического исследования.

канонам, выработанным многими поколениями учёных. Это необходимо, чтобы разные

люди без дополнительных усилий понимали друг друга.

Любая научная статья преследует одновременно две цели:

донести основные идеи автора до широкой аудитории так, чтобы неспециалисты в данной узкой теме смогли понять основные идеи, затратив на это минимум времени;

представить детальное изложение полученных результатов так, чтобы небольшое число узких специалистов смогли их понять, перепроверить, развить и применить.

Результаты научного исследования оформляют в виде научной статьи

квадраты?
Ответ: 30 квадратов

- один

- четыре

- девять
Квадратов со стороной 1 клеточка - шестнадцать

= 30
Ответ: 30 квадратов
Как правильно считать квадраты?

квадратов?

Как получить ответ, не пересчитывая каждый раз квадраты

(как получить формулу для количества квадратов)?

квадрат на другое количество квадратиков?
Что сохранится, а что изменится,

если квадрат заменить на треугольник, ромб или другую фигуру (и сколько их может быть)?

Для задачи о квадратах

На языке
«объект – предмет»

Как описать весь класс объектов с теми же свойствами?

Какие есть аналогичные объекты с теми же свойствами?
В чем уникальность этого объекта?

Возможен ли красивый способ описания класса объектов и его свойств?

исследование объекта

исследование способа
(метода)

Каков оптимальный способ подсчета квадратов?
Как получить ответ, не пересчитывая каждый раз квадраты (как получить формулу для количества квадратов)?

Какие задачи аналогичны (подобны) этой?
В чем уникальность (особенность)

этой задачи?

Возможно ли более красивое решение
подобных задач?

На языке задачи

На языке
«объект – предмет»

Как описать весь класс объектов с теми же свойствами?

Какие есть аналогичные объекты с теми же свойствами?
В чем уникальность этого объекта?

Возможен ли красивый способ описания класса объектов и его свойств?

исследование объекта

исследование способа
(метода)

заменить на треугольник, ромб или другую фигуру (и сколько

их может быть)?

Анало́гия (др.-греч. ἀναλογἰα — соответствие, сходство) — подобие, сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах, а также познание путём сравнения.

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии». Стефан Банах

4 + 9 = 14
1 + 4 + 9

+ 16 = 30
1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

12 = 1
12 + 22 = 5
12 + 22 + 32 = 14
12 + 22 + 32 + 42 = 30
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . + n2 = ?

52 + . . . + n2 = ?
Если

формула для суммы нам известна (из книг или от учителя), то доказываем ее.

Для этого обычно используется метод математической индукции

Если мы пока не знаем, чему равна эта сумма, то возникает задача каким-то образом догадаться, какой вид имеет выражение для суммы.

Иногда может помочь метод наблюдения и обобщения (ищем закономерность в образовании чисел 1, 5, 14, 30, 55).
Иногда может помочь метод аналогии (суммы каких последовательностей нам уже известны, в чем особенность формул).

проще

полезнее

42 + 52 + . . . + n2

= ?

Если мы пока не знаем, чему равна эта сумма, то возникает задача каким-то образом догадаться, какой вид имеет выражение для суммы.

Рассмотрим формулы для сумм:

1+3+5+7+…+(2n-1)= n2

1+2+3+4+5+…+ n = ½(n2 + n)

Заметим, что справа – многочлен второй степени от n. Слева n всегда стоит в первой степени.

Гипотеза: В нашем случае справа от знака равенства тоже будет многочлен. У него будет степень 3.

+ 52 + ... + n2 = an3 +

bn2 + cn + d

Задача: Найти a, b, c, d.

Модель этой задачи на языке функциональных зависимостей
Дано:

Модели́рование — построение вспомогательной системы (модели), отражающей существенные характеристики объектов, процессов или явлений с целью их изучения и предсказания поведения.

f(n)=an3 + bn2 + cn + d
f(1)=1
f(2)=5
f(3)=14
f(4)=30
f(5)=55

Найти: a, b, c, d

ли ответы на все вопросы?
Решена ли задача?

Какая задача решена?

Какая исследовательская задача решалась?

Некоторые задачи в цепочке задач решены.

Доказана Теорема: Пусть квадрат образован из nxn квадратиков. Тогда общее число квадратов на рисунке вычисляется по формуле 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + n2 = 1/3n3 + 1/2n2 + 1/6n.

Точно остались без ответа вопросы:
1. Что будет, если рассматривать не квадраты, а треугольники?
2. Можно ли применить наш метод поиска суммы к суммам другого типа? Останется ли справедливой гипотеза? Будут ли ограничения? (задача на исследование метода)

У исследовательской задачи не бывает формулировки, она определяется через описание проблемы, объекта, предмета, целей, задач и методов исследования.

исследования (способ, явление, процесс, система) – ответ на вопрос

«Что рассматривается?»

Предмет исследования (свойство объекта, избранное для изучения) – ответ на вопрос «какие аспекты и функции объекта выделяются для изучения?»

У исследовательской задачи не бывает формулировки, она определяется через описание проблемы, объекта, предмета, целей, задач и методов исследования.

– ответ на вопрос: «Какой результат предполагает получить исследователь?

Каким видится этот результат еще до его получения?»  

Для нас целью исследования было получение формулы для вычисления количества квадратиков в фигуре произвольного размера.

Задачи исследования конкретизируют цель.

Задачи – ответ на вопрос «Что нужно сделать для достижения цели?»

Мы решали следующие задачи:
Выявление и моделирование на алгебраическом языке зависимости количества квадратов от размеров фигуры.
Поиск и обоснование формулы для количества квадратов.
Формулирование результатов исследования в виде определений и теорем.

что вы предполагаете и намерены проверить в начале или

в ходе исследования.

Гипотеза по форме может формулироваться как теорема. Гипотеза – это правдоподобное утверждение, истинность которого вы пытаетесь доказать или опровергнуть. Теорема – это доказанная гипотеза.

Методы исследования – ответ на вопрос «Какого типа рассуждение или действие помогло осуществить исследование?» Выделяют общенаучные (наблюдение, эксперимент, индукция, аналогия, обобщение, моделирование, др) и частнопредметные методы исследования.

некоторого противоречия, отсутствия знания при необходимости в нем, отсутствии

средств или способов деятельности.
Проблема может быть объективной и субъективной (способ неизвестен никому из математиков или способ неизвестен нам, школьникам).

Актуальность и значимость исследования – ответ на вопрос «Зачем думать об этой проблеме сейчас и вообще?»
Решение проблемы может быть актуальным лично для исследователя, для группы исследователей или для научного сообщества в целом.

ответ на вопрос «Для решения каких практических или прикладных

задач могут быть использованы результаты исследования лично Вами или еще кем-то?» Но не обязательно на вопрос «как в жизни (в быту) теорема пригодится?»

Результаты исследования – ответ на вопросы «Какое новое знание получили? Какой статус этого знания?»
Статус знания бывает следующим: истинное (доказанное), правдоподобное (подтвержденное примером или другим способом, но не доказанное), постановка проблемы (не удается ни подтвердить, ни опровергнуть). Форма результатов в математике: определения, утверждения, доказательства, примеры.