Презентация на тему Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами

а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то

справедливы равенства



Что и требовалось доказать

Дано:
(О;R)
АВ и CD-хорды
AB∩CD=E
Д-ть:

образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин

дуг, заключённых между его сторонами

а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными

углами, то справедливы равенства


что и требовалось доказать.

Дано:
(O;R)
AB и CD секущие
AB∩CD=E
Д-ть:

и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между

его сторонами

=>

Поэтому справедливы равенства


что и требовалось доказать.

Дано:
(O;R)
AB-кас
CD-сек
AB∩CD=E
Д-ть:

касания
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через

точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на

диаметр, то углы DAB и DCA – прямые
2)α=треугольник DAC-п/у, Следовательно, α= Следовательно, α равен половине дуги γ
что и требовалось доказать

Дано:
AB-кас.
AC-хорда
AD-диаметр
Д-ть:

ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите

радиус окружности, если угол BAC = α, угол ABC = β и площадь треугольника ABC равна S.

Подсказка
Пусть D — точка пересечения данной окружности со стороной BC. Зная площадь треугольника ABC,
найдите AB с помощью теоремы синусов.
Затем докажите, что  ADB = 180o - 

Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, получим пропорцию
 = 

 =  ,
откуда a =   . 

Тогда
S = S ABC =  ac sin   =  ,



откуда находим, что c = 

2) По теореме об угле между касательной и хордой находим, что либо  ADB =  BAC =   , либо  ADB = 180o -  BAC = 180o - В обоих случаях sin ADB = sin . Пусть R — искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABD. 
Тогда

R =    =   =   .

точке A.‍ Хорда BC‍ в большей окружности касается меньшей

в точке D.‍ Прямая AD‍ вторично пересекает большую окружность в точке M.‍ Найдите MB,‍ если MA = a,‍ MD = b.‍

BC,‍ не содержащей точки A.‍ Пусть общая касательная к

данным окружностям, проведённая через точку A,‍ пересекает прямую BC‍ в точке P‍ (C‍ между B‍ и P).‍ Тогда ∠MAP = ∠ADP‍ как углы при основании равнобедренного треугольника APD.‍
Пусть α,‍ β‍ и γ —‍ угловые величины дуг CM‍ (не содержащей точки A),‍ BM‍ (не содержащей точки A)‍ и AB‍ (не содержащей точки C)‍ соответственно. Тогда из равенства углов MAP‍ и ADP‍ следует равенство смежных им углов, поэтому

‍
‍ α + γ
‍ 2 ‍ ,‍

γ + β

‍ 2

=

______ ______

откуда получаем, что α = β.‍ Значит,
∠DBM = ∠CBM = ∠CAM = ∠BAM‍
и треугольники BDM‍ и ABM‍ подобны по двум углам. Следовательно,
‍
‍ BM
‍ DM

откуда находим, что BM‍² = AM · DM = ab.‍

= ‍

‍ AM
‍ BM

,‍

____ ____

20 и углом B, равным 45°, описана окружность. Через

точку C проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение стороны AB за точку A в точке D Найти площадь треугольника BCD.

как вписанный угол, опирающийся на эту дугу. Угол ACD

также равен половине угловой величины дуги AC, как угол между касательной и хордой. Следовательно, эти углы равны, и треугольники DBC и DCA подобны по двум углам. Площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Найдем этот коэффициент, он равен BC : AC. Пусть BC = 10x, тогда, применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим: