Презентация на тему количественные методы в финансах

множества портфелей.
Множество таких портфелей в плоскости риск-доходность образуют

некоторое
ограниченное множество – множество Марковица.
Граница множества является эффективной границей в том смысле, что на ней
расположены портфели, которые имеют для заданной доходности минимальную
вариацию доходности – риск или для заданного уровня риска максимальную
доходность. Портфели, лежащие вне этой границы недостижимы, а внутри
неэффективны.

Достижимое множество

Эффективная граница

из конечного числа абсолютно ликвидных активов.
Доходности являются нормально распределенными

случайными величинами, имеющие конечные значения математического ожидания (доходности ) и дисперсии (риск).
Индивидуальные предпочтения инвестора определяются функцией полезности от двух аргументов – ожидаемой доходности и и риска.
Инвесторы не склонны к риску. Инвестор при одинаковых доходностях предпочитает портфель с меньшим риском или при одинаковых рисках инвестор предпочитает портфель с большей доходностью.
Налоги и транзакционные издержки отсутствуют.

доходности, или максимальную доходность при заданном риске называется эффективным.

- это
задача оптимизации. Требуется найти доли ценных бумаг,

при которых
для заданного уровня доходности риск (вариация) портфеля будет
минимальной.
Если необходимо сформировать эффективный портфель из N бумаг, то
для ее решения применяется метод квадратичного программирования
или метод множителей Лагранжа.

Для решения задачи об инвестировании необходимо иметь следующую
информацию:
Ожидаемые доходности ценных бумаг из которых предполагается формировать портфель,
риск (стандартное отклонение доходности) каждой ценной бумаги, матрицу вариаций ковариаций (фактически ковариацию каждой пары бумаг)

ее в матричном виде. Используя введенные ранее обозначения для

вариации портфеля





Целевая функция при введении множителей приобретает вид


Для трех акций лангранжиан равен

L
первого порядка. Значение второй производной автоматически больше нуля,

поскольку вариация Var(rp) является выпуклой функцией долей.
Решая задачу для трех активов в результате получим систему из пяти линейных
уравнений

Обозначим матрицу вариация -доходность как VCV1, вектор содержащий

доли и
множители Лагранжа, который необходимо найти, как W1, а вектор доходностей
справа, как А, то уравнение в матричном виде запишется как
VCV1*W1=А
Решение этого уравнения в матричном виде имеет вид

Excel, применяя процедуру известную, как «Поиск решения».

быть неотрицательны. Условия для нахождения эффективного портфеля с разрешенной

короткой позицией имеют вид

целевая функция

при ограничениях

запрещенной короткой позиции имеет вид








Задача решается численно.

стандартное отклонение ковариация даны ниже в таблице





Найти эффективный

портфель, имеющий доходность 16%.
Решение методом множителей Лагранжа.



Доходность рассчитаем по формуле


Риск по формуле

двух бумаг легко находится из формул






Поскольку сумма весов в

портфеле должна быть равна единице, то выразим вес акции 2 через вес акции (1 - ω1 ); ω2 = 1 - ω1

к нулю получим




Доля первого актива равна


Минимальный риск будет при

корреляции равной

коэффициенты

соответственно равны




При этом, если , то и наклон положительный

При наклон отрицательный.

доходности соответствует больший риск. Уравнения задают множество портфелей в

зависимости от коэффициента коррелляции в неявном (параметрическом ) виде

портфель, который находится на точке касания кривых безразличия инвестора

и границы эффективного множества Марковица

Соотношение риска и ожидаемой доходности инвестиции для инвестора описывается функцией полезности или функцией предпочтений инвестора, которая характеризует отношение инвестора к получению прибыли в условиях неопределенности.

Теория полезности основывается на том, что в условиях неопределенности получения будущих доходов, даже при наличии количественных оценок риска, инвесторы считают, что большей полезности (доходности) отвечает большая неопределенность (риск).

доходов имеет вид


Два вида функции полезности:
квадратичная (классическая).
логарифмическая (функция

полезности Марковитца
Квадратичная функция полезности имеет вид


Логарифмическая функция полезности по
Марковитцу имеет S образный вид

имеет вид


Поскольку доходность – это случайная величина, которая

является нормально распределенной величиной, то для ожидаемой полезности получим




Для инвестора оптимальный портфель – это портфель, который находится на точке касания кривых безразличия инвестора и эффективного множества Марковитца