Презентация на тему Проверка правильности традиционного решения задач с помощью размерности

с помощью размерности
Задачи занятия:
1.Рассмотреть задачи, описывающие различное движение,

в которых применяются различные уравнения для определения пути.
2. Сделать вывод, что в правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.
3. Доказать, что метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.

. Именно

совокупность значений и определяют размерность физической величины.

любой физической формулы, сколько бы слагаемых членов она не

содержала и какими бы «страшными» они не были.

Проверьте, пожалуйста, несколько известных уравнений кинематики, используя символы МLT

1. S = Vt

2.

3.

4. V = at

5. V = V0 + at

2.

3.

4. V = at

5. V = V0 + at


Вывод: для всех рассмотренных уравнений размерность слева равна размерности справа.

и Солнцем, если луч света, двигаясь со скоростью 3

х 10 м/с , проходит это расстояние примерно за 8,5 минут ?

за 1 минуту, двигаясь от места старта с ускорением

20 ?

на обгон и в течение 10 секунд двигался с

ускорением 2 Какой путь прошел автомобиль за это время?

поворотом в течение 10 секунд двигался равнозамедленно с ускорением

- 2 Какой путь прошел автомобиль за это время?

этих задачах?
( Определялся путь S)
2. В чём различие

в этих задачах?
( В каждой задаче описывается различное движение, а, значит, применяются различные уравнения для определения пути)
То есть различие в том, что одна и та же величина (путь) определяется через различные величины.
В №1 через V и t. В №2 через а и t . В №3 и №4 через V0 ,a, t.

Эти величины имеют различные размерности, но в результате произведенных действий получается во всех случаях одна и та же размерность - метр.

используя модулей этих величин
1. S = V t

=

2. S =

3.4. S = V0t ± = ±

Отсюда следует закономерность:
в правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.

=L±L= L

задач
Допустим в задаче №3 допустили ошибку
(она очень часто

встречается), записав уравнение так
, тогда S = 15 + 2 х 10 /2 = 65 (м).

Если правильный ответ неизвестен, как проверить правильность решения и найти причину ошибки

то ли в преобразовании, то ли в неправильном написании,

правильно выбранного уравнения?

Проверяя правильность решения по наименованию можно найти причину ошибки. Как это сделать?
Вместо модулей величин подставить размерности величин и сравнить размерности левой и правой части уравнения, то есть использовать, указанную выше, закономерность.





Отсюда следует: L ≠ 1+Т. Задача решена неверно.

собой двучлен. Одна его часть имеет размерность L ,

а другая L/T.

Как из этого выражения L/T получить L?
Умножив его на Т, получим размерность первого члена L.
Тогда первый член и второй член правой части уравнения будут иметь размерность L и L + L = L ,
то есть левая и правая части будут иметь одинаковую размерность.
Значит, первый член правой части уравнения должен иметь вид не V0, а V0 t .

ошибка:
в уравнении

вместо знака «+» поставил знак «-».
Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку?

Отсюда следует второй вывод: Метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.

их правильности решения, применив метод размерности для проверки.
Задача №

1 .
За время равное 2 с тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.

уравнения
V = V0 + at

(1)

S = V0t + at /2 (2)

V – V0 = 2aS (3)

(2) и уравнением данным в условии задачи V =

3 V0 и решим их совместно относительно неизвестного а.

V = 3V0 3V0 = V0 + at 2V0 = at, V0 = at/2
V = V0 + at S = V0t + at /2
S = V0t

Тогда S = at /2 + at /2

S = 2 at /2 S = at a = S/t .

Тогда а = 20 /4 = 5 м/с

с тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20

м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.

Дано:

а - ?

Решение.
1 Движение равноускоренное с V0 ≠ 0
2. Его уравнения V = V0 + at (1)
S = V0t + at /2 (2) V – V0 = 2aS (3)
3. Для решения задачи воспользуемся уравнениями (1) , (2), уравнением данным в условии задачи V = 3 V0 и решим их совместно относительно неизвестного а .
V = 3V0 3V0 = V0 + at 2V0 = at
V = V0 + at S = V0t + at /2
S = V0t + at /2
V0 = at/2 Тогда S = at /2 + at /2
S = 2 at /2 S = at a = S/t .
Тогда а = 20 /2 = 5 м/с
Сделаем проверку решения методом размерности



Размерности левой и правой части уравнения совпадают, значит, задача решена правильно.

t = 2 c

S = 20 м

V = 3 V0

первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой

путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала движения?

Дано :
V0 = 0
t 1= 5 c
t 2= 10 c
S1 =10 м

S2-?

Решение.
В задаче описано два случая равноускоренного движения.
Равноускоренное движение с V0 = 0 описывается следующими уравнениями: S = at /2 (1) V = at (2) V = 2aS (3)
Начнём решение задачи «с конца». Для нахождения S2 воспользуемся уравнением (1) S2 = at2 /2. Это уравнение связывает S 2 и t 2 , неизвестно а . Так как ускорение одинаково в первом и во втором движении , то его можно определить из уравнения (1) для первого движения S1 = at1 /2 , так как величины S 1 и t 1 известны. Решая эти уравнения совместно относительно S2 , получим
S1 = a = S2 =

S2 =

L = L x T x T =

L т. е L = L
Задача решена правильно. Подставим числовое значение величин и получим ответ задачи.

S2 = 10 (м).

секунд движения прошло путь 100 м , а за

10 сек. - 300 м . Определить начальную скорость движения тела.

Дано:
t1 = 5 c
S1 = 100 м
t2 = 10 c
S2 = 300 м
V0 -?

Решение.
1. В задаче описано два случая равноускоренного движения с
начальной скоростью не равной нулю.
2. Уравнением, связывающим путь, начальную скорость, время и ускорение, является уравнение пути этого движения.
Поэтому запишем его для первого и второго случая движения, описанного в задаче.
S1= V0t1 + at2 /2 (1) S2 = V0t2 + at2 /2 (2) Начальную скорость V0 можно определить используя уравнение (1) или используя уравнение (2) , но и в том и в другом для нахождения V0 надо знать ещё и ускорение а . Так как ускорение и в первом, и во втором движении одинаково, то решим уравнения (1) и (2) совместно относительно V0.

(1)
S2 = V0t2 +

(2)
Эту систему уравнений можно решить по – разному.

Решим её способом подстановки. Из (1) найдём а и его значение подставим в уравнение (2) из которого потом определим V0.
Из (1) 2S1 = 2 V0 t1 + at1 2S1 – 2V0t1 = at1
a = Подставим это значение в (2)

S2 = V0t2 + S2 t1 =V0t2t1 + (S1 – V0t1)t2
S2t1 = V0t2t1 + S1t2 – V0t1t2 S2t1 – S1t2 =V0t2t1 – V0t1t2 S2t1 –S1t2 = V0 ( t1 t2 - t2 t1)
V0 =

Мы проделали громоздкие преобразования. Не допустили ли мы ошибку?

работу.
L T =


Подставим числовое значение входящих величин

и получим числовой ответ задачи.

V0 =

м/с

ЗАДАЧИ

КРИТЕРИЙ правильности решения физической задачи, не содержащей числовых коэффициентов

и тригонометрических функций.
Задачи занятия:
Критерий истинности уравнения
Критерий истинности смысла уравнения
Выдвижение гипотез
Составление уравнений размерности
Решение системы уравнений размерности
Ошибочные гипотезы

размерности .


Если для исследуемого явления установлено, с

какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи неизвестен, то можно составить уравнение размерностей, в котором в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой — произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности.
Задача нахождения связи между физическими величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерности.

s телом массой М, движущимся поступательно и прямолинейно под

действием постоянной силы f, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:
Т = L M (LMT ) ,     (2) где х, у, z — неизвестны.
Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении (2) приводит к системе уравнений x + z = 0,
y + z = 0,
-2z = 1, откуда следует, что х = у = 1/2, z = —1/2
.     (3)

Безразмерный коэффициент С, равный, согласно законам механики, , в рамках анализа размерностей определить нельзя.
  В этом состоит своеобразие метода размерностей.

величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного

коэффициента (или коэффициента, зависящего от безразмерного параметра, например от угла).

Для получения точных количественных соотношений нужны дополнительные данные.

Поэтому метод размерностей не является универсальным методом.

(гидравлике, аэродинамике и др.),
где строгое решение задачи часто наталкивается

на значительные трудности,
в частности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления.

формулой является равенство наименований, а значит и размерностей обеих

частей уравнения (равенства). Можно записать: [ϒ]= Нужно только определить значения .

следующий алгоритм
1.Пусть КРОКОДИЛ в квадратных скобках [ϒ] зависит от

ϒ ~ (это не ошибка, это некие фантастические величины).
2.Тогда их размерности , если записанная нами формула верна, могут быть представлены

3.Пусть , а и
4.Тогда их совокупность должна быть
5.Упрощая к виду

приравниваем показатели и получаем систему
уравнений:
Решив которую относительно x, y, z, получим
необходимое нам уравнение.