Презентация на тему ДИНАМИКА

с самой общей точки
зрения. Движение рассматривается в связи с

действующими
на объект силами.
Раздел состоит из трех отделов:

Динамика
материальной точки

Динамика

Динамика
механической системы

Аналитическая механика

■ Динамика точки – изучает движение материальной точки
с учетом сил, вызывающих это движение.
Основной объект - материальная точка – материальное тело, обладающей массой, размерами которого можно пренебречь.

Основные допущения:
– существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения .
– существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения).
Отсюда вытекает:
– существует абсолютно неподвижная система отсчета.
– время не зависит от движения системы отсчета.
– массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета.
Эти допущения используются в классической механике, созданной Галилеем и Ньютоном. Она имеет до сих пор достаточно широкую область
применения, поскольку рассматриваемые в прикладных науках механические системы не обладают такими большими массами и скоростями
движения, для которых необходим учет их влияния на геометрию пространства, время, движение, как это делается в релятивистской механике
(теории относительности).

■ Основные законы динамики – впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил.
■ Закон инерции (закон Галилея-Ньютона) – Изолированная материальная точка тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью.

■ Закон пропорциональности силы и ускорения (Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) – Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки: или

Здесь m – масса точки (мера инертности), измеряется в кг,
численно равна весу, деленному на ускорение свободного падения:

F – действующая сила, измеряется в Н (1 Н сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кг-с).

■ Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами
взаимодействия, с учетом сил, вызывающих это движение.

■ Аналитическая механика – изучает движение несвободных механических систем с использованием общих аналитических методов.

1

точки:
- дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде.
-

дифференциальные
уравнения движения
точки в координатном
виде.

Этот результат может быть получен формальным проецированием векторного дифференциального уравнения (1).

После группировки
векторное соотношение
распадается
на три скалярных
уравнения:

В координатном виде: Используем связь радиуса-вектора с координатами
и вектора силы с проекциями:

или:

Подставим ускорение точки при векторном задании движения в основное уравнение динамики:

Естественные уравнения движения материальной точки – получаются
проецированием векторного дифференциального
уравнения движения на естественные (подвижные)
оси координат: или:

- естественные
уравнения движения
точки.

■ Основное уравнение динамики :

- соответствует векторному способу задания движения точки.

■ Закон независимости действия сил – Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности: или

Закон справедлив для любого кинематического состояния тел. Силы взаимодействия, будучи приложенные к разным точкам (телам)
не уравновешиваются.

■ Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона) – Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие:

2

(уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых

происходит заданное движение.
2. Обратная задача: Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения).
Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики и проекции его на координатные оси. Если рассматривается движение несвободной точки, то как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку. Решение первой задачи связано с операциями дифференцирования. Решение обратной задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи.

Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах:
Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a . Определить натяжение троса.

1. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и ее можно рассматривать как материальную точку).

2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R.

3. Составляем основное уравнение динамики:

Определяем реакцию троса:

Определяем натяжение троса:

При равномерном движении кабины ay = 0 и натяжение троса равно весу: T = G.
При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: ay = -g.

3

4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y:

y

Пример 2. Точка массой m движется по горизонтальной поверхности (плоскости Oxy) согласно уравнениям: x = a⋅coskt, y = b⋅coskt. Определить силу, действующую на точку.

1. Выбираем объект (материальную точку).

2. Отбрасываем связь (плоскость) и заменяем реакцией N.

3. Добавляем к системе сил неизвестную силу F.

4. Составляем основное уравнение динамики:

5. Проецируем основное уравнение динамики на оси x,y :

Определяем проекции силы:

Модуль
силы:

Направляющие косинусы:

Таким образом, величина силы пропорциональна расстоянию точки до центра координат и
направлена к центру по линии, соединяющей точку с центром.
Траектория движения точки представляет собой эллипс с центром в начале координат:

O

r

Лекция 1 (продолжение – 1.3)

подвешен на тросе длиной l и движется по круговой

траектории в горизонтальной плоскости с некоторой скоростью. Угол отклонения троса от вертикали равен α. Определить натяжение троса и скорость груза.

1. Выбираем объект (груз).

2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R.

3. Составляем основное уравнение динамики:

Из третьего уравнения определяем
реакцию троса:

Определяем натяжение троса:

Подставляем значение реакции
троса, нормального ускорения
во второе уравнение и
определяем скорость груза:

4. Проецируем основное уравнение динамики на оси τ,n, b:

Пример 4: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост.

1. Выбираем объект (автомашина, размерами пренебрегаем и рассматриваем как точку).

2. Отбрасываем связь (шероховатую поверхность) и заменяем реакциями N и силой трения Fтр.

3. Составляем основное уравнение динамики:

4. Проецируем основное уравнение динамики на ось n:

Отсюда определяем нормальную реакцию:

Определяем давление автомашины на мост:

Отсюда можно определить скорость, соответствующую нулевому
давлению на мост (Q = 0):

4

под действием одной и той же системы сил
материальная точка

может совершать целый класс движений,
определяемых начальными условиями.
Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние.

Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими
от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка:

После интегрирования
каждого из них будет
шесть постоянных
C1, C2,…., C6:

Значения постоянных C1, C2,…., C6
находятся из шести начальных
условий при t = 0:

Пример 1 решения обратной задачи: Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и величине. . В начальный момент скорость точки составляла v0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки.

1. Составляем основное уравнение динамики:

3. Понижаем порядок производной:

2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы
и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось: или

x

y

z

4. Разделяем переменные:

5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:

6. Представим проекцию скорости
как производную координаты по времени:

8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:

7. Разделяем переменные:

9. Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, vx = v0 , x = x0 :

В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x):

5

Порядок решения:
1. Составление дифференциального уравнения движения:
1.1. Выбрать систему

координат – прямоугольную (неподвижную) при неизвестной траектории движения, естественную (подвижную) при известной траектории, например, окружность или прямая линия. В последнем случае можно использовать одну прямолинейную координату. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки, если оно существует, например, при колебаниях точки.

6

1.2. Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы координаты были положительными
(s > 0, x > 0). При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае колебаний проекция
скорости меняет знак, например, при возвращении к положению равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый момент
времени точка удаляется от положения равновесия. Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при работе с силами
сопротивления, зависящими от скорости.

1.3. Освободить материальную точку от связей, заменить их действие реакциями, добавить активные силы.

1.4. Записать основной закон динамики в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые или реактивные силы
через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят.

2. Решение дифференциальных уравнений:
2.1. Понизить производную, если уравнение не приводится к каноническому (стандартному) виду. например: или

2.2. Разделить переменные, например: или

2.4. Вычислить неопределенные интегралы в левой и правой частях уравнения, например:

2.3. Если в уравнении три переменных,
то сделать замену переменных, например: и затем разделить переменные.

Замечание. Вместо вычисления неопределенных интегралов можно вычислить определенные интегралы с переменным верхним пределом.
Нижние пределы представляют начальные значения переменных (начальные условия) .Тогда не требуется отдельного нахождения постоянной,
которая автоматически включается в решение, например:

Используя начальные условия, например, t = 0, vx = vx0, определить постоянную интегрирования:

2.5. Выразить скорость через производную координаты по времени, например, и повторить пункты 2.2 -2.4

Замечание. Если уравнение приводится к каноническому виду, имеющему стандартное решение, то это готовое решение и используется.
Постоянные интегрирования по прежнему находятся из начальных условий. См., например, колебания (лекция 4, стр.8).

Лекция 2 (продолжение 2.2)

Сила зависит от времени. Груз весом P начинает двигаться

по гладкой горизонтальной поверхности
под действием силы F, величина которой пропорциональна времени (F = kt). Определить пройденное расстояние грузом за время t.

3. Составляем основное уравнение динамики:

5. Понижаем порядок производной:

4. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : или

7

6. Разделяем переменные:

7. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:

9. Представим проекцию скорости
как производную координаты по времени:

10. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:

9. Разделяем переменные:

8. Определим значение постоянной C1
из начального условия t = 0, vx = v0=0:

В итоге получаем уравнение движения
(по оси x), которое дает значение
пройденного пути за время t:

1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату:

2. Принимаем объект движения за материальную точку (тело движется поступательно), освобождаем от связи
(опорной плоскости) и заменяем реакцией (нормальной реакцией гладкой поверхности):

11. Определим значение постоянной C2
из начального условия t = 0, x = x0=0:

Пример 3 решения обратной задачи: Сила зависит от координаты. Материальная точка массой m брошена вверх с поверхности Земли со скоростью v0. Сила притяжения Земли обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра тяготения (центра Земли). Определить зависимость скорости от расстояния y до центра Земли.

1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату:

2. Составляем основное уравнение динамики:

3. Проецируем основное уравнение динамики на ось y : или

Коэффициент пропорциональности можно найти, используя вес точки на поверхности Земли:

R

Отсюда дифференциальное
уравнение имеет вид: или

4. Понижаем порядок производной:

5. Делаем замену переменной:

6. Разделяем переменные:

7. Вычисляем интегралы
от обоих частей уравнения:

8. Подставляем
пределы:

В итоге получаем выражение
для скорости в функции
от координаты y :

Максимальную высоту
полета можно найти
приравнивая скорость нулю:

Максимальная высота полета →∞
при обращении знаменателя в нуль:

Отсюда при постановке радиуса Земли и ускорения
свободного падения
получается II космическая
скорость:

Сила зависит от скорости. Судно массы m имело скорость

v0. Сопротивление воды движению судна пропорционально скорости. Определить время, за которое скорость судна упадет вдвое после выключения двигателя, а также пройденное расстояние судном до полной остановки.

8

1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату:

2. Принимаем объект движения за материальную точку (судно движется поступательно), освобождаем от связей
(воды) и заменяем реакцией (выталкивающей силой – силой Архимеда), а также силой сопротивления движению.

3. Добавляем активную силу (силу тяжести).

4. Составляем основное уравнение динамики:

5. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : или

6. Понижаем порядок производной:

7. Разделяем переменные:

8. Вычисляем интегралы
от обоих частей уравнения:

9. Подставляем
пределы:

Получено выражение, связывающее скорость и время t, откуда можно определить время движения:

Время движения, за которое
скорость упадет вдвое:

Интересно заметить, что при приближении скорости к нулю время движения стремится к бесконечности, т.е. конечная скорость не может
быть равна нулю. Чем не “вечное движение”? Однако, при этом пройденный путь до остановки является конечной величиной. Для определения пройденного пути обратимся к выражению, полученному после понижения порядка производной, и сделаем замену переменной:

После интегрирования и подстановки пределов получаем:

Пройденный путь
до остановки:

■ Движение точки, брошенной под углом к горизонту, в однородном поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Исключив время из уравнений движения
получаем уравнение траектории:

Время полета определяем
приравниванием координаты y нулю:

Дальность полета определяем
подстановкой времени полета:

материальной точки происходит при условии: имеется восстанавливающая сила, стремящая

вернуть точку в положение равновесия при любом отклонении ее из этого положения.

9

Восстанавливающая
сила есть,
положение равновесия
устойчивое

Восстанавливающей
силы нет,
положение равновесия
неустойчивое

Восстанавливающей
силы нет,
положение равновесия
безразличное

Восстанавливающая
сила есть,
положение равновесия
устойчивое

Необходим анализ

Сила упругости пружины – пример линейной восстанавливающей силы.
Направлена всегда к положению равновесия, величина прямо пропорциональна линейному
удлинению (укорочению) пружины, равному отклонению тела от положения равновесия:
с – коэффициент жесткости пружины, численно равный силе, под действием которой пружина изменяет свою длину на единицу, измеряется в Н/м в системе СИ.

x

y

O

Виды колебаний материальной точки:
1. Свободные колебания (без учета сопротивления среды).
2. Свободные колебания с учетом сопротивления среды (затухающие колебания).
3. Вынужденные колебания.
4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.

■ Свободные колебания – происходят под действием только восстанавливающей силы.
Запишем основной закон динамики:

Выберем систему координат с центром в положении равновесия (точке O)
и спроецируем уравнение на ось x :

Приведем полученное уравнение
к стандартному (каноническому) виду :

Данное уравнение является однородным линейным дифференциальным
уравнением II порядка, вид решения которого определяется корнями
характеристического уравнения, получаемое с помощью универсальной
подстановки:

Корни характеристического уравнения мнимые и равные:

Общее решение дифференциального
уравнения имеет вид:

Скорость точки:

Начальные условия:

Определим
постоянные:

Итак, уравнение свободных колебаний имеет вид:

Уравнение можно представить
одночленным выражением:

где a – амплитуда, β - начальная фаза.

Новые константы a и β - связаны
с постоянными C1 и C2 соотношениями:

Определим a и β :

Причиной возникновения свободных колебаний является начальное смещение x0 и/или начальная скорость v0.

Колебательное движение материальной точки происходит
при наличии восстанавливающей силы и

силы сопротивления движению.
Зависимость силы сопротивления движению от смещения или скорости определяется физической природы
среды или связи, препятствующей движению. Наиболее простой зависимостью является линейная зависимость
от скорости (вязкое сопротивление):

α - коэффициент вязкости

x

y

O

Основное уравнение динамики:

Проекция уравнения динамики на ось:

Приведем уравнение к стандартному виду:

где

Характеристическое уравнение имеет корни:

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет различный вид в зависимости от значений корней:

1. n < k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные.

или

x = ae-nt

x = -ae-nt

Частота затухающих колебаний:

Период:

T*

Декремент
колебаний:

ai

ai+1

Логарифмический
декремент колебаний:

Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени.

2. n > k – случай большого вязкого сопротивления: - корни действительные, различные.

или

- эти функции апериодические:

3. n = k : - корни действительные, кратные.

эти функции также апериодические:

пружин. Эквивалентная жесткость.
y
y
11

Наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая

возмущающей силой.
Возмущающая сила может иметь различную природу. Например, в частном случае инерционное воздействие неуравновешенной массы m1 вращающегося ротора вызывает гармонически изменяющиеся проекции силы:

Основное уравнение динамики:

Проекция уравнения
динамики на ось:

Приведем уравнение
к стандартному виду:

12

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения состоит их двух частей x = x1 + x2 : x1 – общее решение соответствующего
однородного уравнения и x2 – частное решение неоднородного уравнения:

Частное решение подбираем в форме правой части:

Полученное равенство должно удовлетворяться при любом t .

Тогда: или

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат сложения (наложения) свободных (x1) и вынужденных (x2) колебаний.
Если p < k (вынужденные колебания малой частоты),
то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы:

В итоге полное решение: или

Общее решение:

Постоянные С1 и С2, или a и β определяются из начальных условий с использованием полного решения (!):

Таким образом, частное решение:

Если p > k (вынужденные колебания большой частоты),
то фаза колебаний противоположна фазе возмущающей силы:

вынужденных колебаний
к статическому отклонению точки под действием постоянной силы

H = const:

Амплитуда
вынужденных колебаний:

Статическое отклонение можно найти из уравнения равновесия:
Здесь:

Отсюда:

Таким образом, при p < k
(малая частота
вынужденных колебаний)
коэффициент динамичности:

При p > k
(большая частота
вынужденных колебаний)
коэффициент динамичности:

Резонанс – возникает, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний (p = k). Это наиболее часто происходит при запуске и остановке вращения плохо сбалансированных роторов, закрепленных на упругих подвесках.
Дифференциальное уравнение колебаний при равенстве частот:

Частное решение в форме правой части взять нельзя, т.к. получится линейно зависимое решение (см. общее решение).

Общее решение:

Подставим в дифференциальное
уравнение:

Возьмем частное решение в виде и вычислим производные :

Таким образом, получено решение: или

Вынужденные колебания при резонансе имеют амплитуду неограниченно возрастающую пропорционально времени.

Влияние сопротивления движению при вынужденных колебаниях.
Дифференциальное уравнение при наличии вязкого сопротивления имеет вид:

Общее решение выбирается из таблицы (Лекция 3, стр. 11) в зависимости от соотношения n и к (посмотреть).

Частное решение возьмем в виде и вычислим производные :

Подставим в дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях получаем систему уравнений:

Возведением в степень обоих
уравнений и сложением их
получаем амплитуду
вынужденных колебаний:

Делением второго уравнения
на первое получаем сдвиг фазы вынужденных колебаний:

Таким образом, уравнение движения при вынужденных колебаний с учетом сопротивления движению, например при n < k (малое сопротивление):

Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения
возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет
конечную величину и зависит от соотношения n и к.

подвижная (неинерциальная) система координат Oxyz движется по некоторому закону

относительно неподвижной (инерциальной) системы координат O1x1y1z1. Движение материальной точки M (x, y, z) относительно подвижной системы Oxyz– относительное, относительно неподвижной системы O1x1y1z1– абсолютное. Движение подвижной системы Oxyz относительно неподвижной системы O1x1y1z1– переносное движение.

14

z

x1

y1

z1

O1

x

y

M

x

y

z

O

Основное уравнение динамики:

Абсолютное ускорение точки:

Подставим абсолютное ускорение точки в основное уравнение динамики:

Перенесем слагаемые с переносным и кориолисовым ускорением в правую часть:

Перенесенные слагаемые имеют
размерность сил и рассматриваются
как соответствующие силы инерции,
равные:

Тогда относительное движение точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим силам добавить переносную и кориолисову силы инерции:

В проекциях на оси подвижной системы
координат имеем:

Частные случаи относительного движения точки для различного вида переносного движения:

1. Вращение вокруг неподвижной оси:

Если вращение
равномерное, то εe = 0:

2. Поступательное криволинейное движение:

Если движение прямолинейное, то ρ = ∞:

Если движение прямолинейное и равномерное, то подвижная система является инерциальной и относительное движение может рассматриваться как абсолютное: Никакими механическими явлениями нельзя обнаружить прямолинейного равномерного движения (принцип относительности классической механики).

Влияние вращения Земли на равновесие тел – Положим, что тело находится в равновесии на поверхности Земли на произвольной широте φ (параллели). Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток с угловой скоростью: Радиус Земли составляет около 6370 км.

S

R – полная реакция негладкой поверхности.

G – сила притяжения Земли к центру.

Ф – центробежная сила инерции.

Условие относительного равновесия:

Равнодействующая сил притяжения и инерции – сила тяжести (вес):

Величина силы тяжести (веса) на поверхности Земли равна P = mg .
Центробежная сила инерции составляет малую долю от силы тяжести:

Отклонение силы тяжести
от направления силы притяжения также мало :

Таким образом, влияние вращения Земли на равновесие тел чрезвычайно мало и в практических расчетах не принимается во внимание.

Максимальная величина силы инерции (при φ = 0 - на экваторе) составляет всего 0.00343 от величины силы тяжести

тел в поле тяготения Земли – Положим тело падает

на Землю с некоторой высоты H над поверхностью Земли на широте φ . Выберем подвижную систему отсчета, жестко связанную с Землей, направляя оси x, y по касательной к параллели и к меридиану:

Уравнение относительного движения:

Здесь учтена малость центробежной силы инерции по сравнению с силой тяжести. Таким образом сила
тяготения отождествляется с силой тяжести. Кроме того, считаем, что сила тяжести направлена перпендикулярно поверхности Земли вследствие малости ее отклонения, как рассмотрено выше.

Ускорение Кориолиса равно и направлено параллельно оси y на запад.

Сила инерции Кориолиса равна направлена в противоположную сторону.

Спроецируем уравнение относительного движения на оси:

Решение первого уравнения дает:

Начальные условия:

Решение третьего уравнения дает:

Начальные условия:

Третье уравнение принимает вид:

Начальные условия:

Его решение дает:

Полученное решение показывает, что тело при падении отклоняется к востоку.
Вычислим величину этого отклонения, например, при падении с высоты 100 м.
Время падения найдем
из решения второго уравнения:

Таким образом, влияние вращения Земли на движение тел
чрезвычайно мало для практических высот и скоростей и
в технических расчетах не учитывается.
Из решения второго уравнения также следует существование
скорости по оси y, которая также должна вызывать и вызывает
соответствующее ускорение и силу инерции Кориолиса.
Влияние этой скорости и силы инерции, связанной с ней,
на изменение движения будет еще меньше, чем
рассмотренная сила инерции Кориолиса, связанная с
вертикальной скоростью.

потенциальная энергия – механическое движение в результате взаимодействия механических

систем может переноситься с одной механической системы на другую:
без превращений в другую форму движения, т.е. в качестве того же механического движения,
с превращением в другую форму движения материи (потенциальную энергию, теплоту, электрическую энергию и т.д.)
Каждый из этих случаев имеет свои измерители (меры) механического движения и механического взаимодействия, отстаиваемые в свое
время Декартом и Лейбницем (см. таблицу):

Ф. Энгельс показал существование и равноправность
обоих (векторных и скалярных) мер движения, каждой
из которых соответствуют свои меры механического
взаимодействия.
Импульс силы является мерой действия силы при
изменении механического движения.
Работа является количественной мерой превращения
механического движения в какую-либо другую форму
движения материи.

Работа силы, приложенной к материальной точке – Пусть точка приложения переменной по величине и направлению силы перемещается по некоторой произвольной траектории. На малом (элементарном) перемещении силу можно считать постоянной и элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения (касательную к траектории движения), умноженной на элементарное перемещение :

Знак элементарной работы определяется
величиной угла α и знаком cosα :

Поскольку часто более удобно работать с острыми углами, то в этом случае
используют острый угол и знак присваивают по следующему простому
правилу: если сила и перемещение совпадают по направлению,
то присваивается знак +, если противоположны по направлению, то знак −.

Элементарная работа может быть записана в виде скалярного произведения: и в проекциях:

Работа на конечном перемещении M M1 получается
суммированием или интегрированием:

Частные случаи: 1. Сила постоянная по величине (F = const)
и направлению (α =const):

2. Сила постоянная по величине (F = const)
и параллельна перемещению (α =0):

3. Сила перпендикулярна перемещению:

16

и утверждения:
Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме

работ составляющих сил на том же перемещении:

■ Работа постоянной сил по величине и направлению на составном перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы
на каждом из составляющих перемещений:

■ Работа внутренних сил неизменяемой системы равна нулю:

■ Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению силы тяжести на разность высот:

Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Запишем выражение для элементарной работы силы, приложенной к точке, и выразим элементарное перемещение через угол поворота тела:

z

В частном случае постоянного значения момента силы относительно оси
работа равна произведению момента силы на угол поворота:

Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу,
для конечного угла поворота:

Мощность – величина, характеризуемая количеством работы, произведенной в единицу времени:

Мощность силы, приложенной к точке:

Мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу:

■ Работа линейной силы упругости (реакции пружины)
при перемещении из состояния равновесия:

17

способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого движения:
■

Кинетическая энергия
материальной точки:

■ Кинетическая энергия
системы материальных точек:

■ Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении:

■ Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении:

■ Кинетическая энергия
твердого тела при плоском
движении:

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки – Изменение кинетической энергии точки равно работе сил, действующих на точку на том же перемещении:

Запишем основной закон динамики точки:

Выразим ускорение через скорость и умножим
левую и правую части соотношения скалярно
на дифференциал радиуса-вектора :

Проинтегрируем полученное соотношение:

После подстановки пределов получаем:

Теорема об изменении кинетической энергии системы – Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы:

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для произвольной точки системы,
при этом выделим работу внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке:

Просуммируем левые и правые части соотношений:

В левой части получили разность кинетических энергий системы:

Для неизменяемой системы:

18