Слайд 2
План лекции
Уравнение движения и равновесия твёрдого тела.
Вращение тела
вокруг неподвижной оси.
Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Кинетическая энергия вращающегося
твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении.
Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, маятник Максвелла.
Гироскопы
Слайд 3
Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение.
Абсолютно твёрдое тело
– это тело, деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь
Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе.
Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу.
Примеры поступательного движения:
стрелка компаса, при перемещении компаса в горизонтальной плоскости;
кабина на колесе обозрения
Слайд 4
Вращательное движение твёрдого тела.
При вращательном движении все точки
тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в
плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела).
Угловые скорости всех точек ω одинаковы.
ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика.
Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.
Слайд 5
Плоское движение твёрдого тела
Любое движение твёрдого тела –
это суперпозиция поступательного и вращательного движений.
При плоском движении все
точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.
Пример плоского движения – качение цилиндра.
Скорость каждой точки цилиндра:
v = v0 + ωxr (v0 – скорость оси)
Слайд 6
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси
Lz = Σrimivi
= ωΣmiri2 = Izω
Iz = Σmiri2 = ∫r2dm –
момент инерции твёрдого тела относительно оси z.
Mz – z-проекция момента внешних сил
Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
Lzdω/dt = Mz
Слайд 7
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил
Кинетическая
энергия вращающегося тела
K = Σmivi2/2 = ½Σmi(ωri)2 = Izω2/2
= Lz2/2I =
½ Lz ω.
В общем случае K = ½ (Lω)
Работа внешней силы при повороте:
dA = (Fds) = Frdφ = Mzdφ
Слайд 8
Плоское движение твёрдого тела
Плоское движение есть суперпозиция движения
центра масс и вращательного в системе центра масс
Движение центра
масс определяется внешними силами по закону Ньютона.
Вращательное движение определяется моментом внешних сил
Слайд 9
Свойства момента инерции
Момент инерции – скалярная аддитивная величина.
Теорема
Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции IC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = Ic + ma2
Доказательство:
по теореме Кёнига для кинетической энергии:
K = Iω2/2 = mvc2/2 + Icω2/2 = m(ωa)2/2 + Icω2/2 =
½ (ma2 + Ic)ω2 ⇨ I = Ic + ma2
Слайд 10
Теорема о взаимно перпендикулярных осях
Момент инерции плоского тела
относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме
моментов относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: Iz = Ix + Iy
Слайд 11
Моменты инерции различных тел
Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно
оси симметрии): I = mr2
Диск: I = ½ mr2
Тонкий
длинный стержень:
I = 1/12 mL2 – относительно середины;
I = 1/3 mL2 - относительно конца
Плоский прямоугольник (параллелепипед):
I = 1/12 m(a2 + b2)
Сфера: I = 2/3 mr2
Шар: I = 2/5 mr2
Толстый цилиндр: I = ½ m(r2 + R2)
Слайд 12
Скатывание с наклонной плоскости
С каким ускорением скатывается цилиндр
(круглое тело) с наклонной плоскости.
Решение:
уравнение моментов относительно мгновенной
оси: IAdω/dt = MA ⇨ IAa = MAr ⇨
a = mgr2sinα/IA = gsinα/(1 + Ic/mr2)
Труба: a = ½gsinα
Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsinα
Полый шар: a = 3/5 gsinα
Сплошной шар: a = 5/7 gsinα
Слайд 13
Диск Максвелла
R = 10 см; r = 0,5
см. С каким ускорением опускается диск.
Решение:
IAdω/dt =MA ⇨ IAdωr/dt
=MAr ⇨ IAdv0/dt =MAr ⇨
a = mgr2/IA = g/(1 + R2/2r2) ≈ g/200 ≈ 5 см/с2
Слайд 14
Свободные оси. Главные оси.
Ось вращения, направление которой в
пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил,
называется свободной осью.
Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс.
При вращении вокруг главной оси L1 = Iω1
Для произвольной оси: L = I1ω1 + I2ω2 + I3ω3
Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.
Слайд 15
Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков.
Главными называются
моменты инерции относительно главных осей.
Шаровой волчок: I1 = I2
= I3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб)
I1 = I2 ≠ I3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I
I1 ≠ I2 ≠ I3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с Imax и Imin
I = I1cos2α + I2cos2β + I3cos2γ - момент инерции относительно произвольной оси.
Слайд 16
Гироскоп
Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси
симметрии.
Гироскопическое приближение: L = I0ω или скорость прецессии
Ω << ω.
Уравновешенный гироскоп (M = 0) сохраняет своё направление в пространстве.
Вынужденная прецессия: M ≠ 0 ⇨ dL = Mdt ⇨ Lsinθdφ = mga sinθ dt ⇨ скорость прецессии Ω = dφ/dt = mga/I0ω – не зависит от угла наклона оси гироскопа.
Слайд 17
Применение гироскопов
В морской и авиа навигиции:
гирогоризонт,
гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё направление.
Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.
Слайд 18
Условие равновесие твёрдого тела
Тело будет оставаться в покое,
если:
Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю:
F
= ΣFi = 0
Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю:
M = ΣMi = 0
