Презентация на тему по теме: Линейная аппроксимация.

аппроксимировать их линейной функцией.
Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение

такой функции (аппроксимирующей функции) g(x), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.
В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой

аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.
Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция – нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую наиболее близко ко всем заданным узлам. Таким образом, критерием близости функции является g(xi)=yi.
Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами, а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).

уравнением
Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения

таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой.
С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение:

функции двух переменных. С этой целью находим частные производные

функции функции по коэффициентам a и b и приравниваем их к нулю.

соответствии с уравнением прямой
y = 8 · x -

3
Рассчитаем указанные коэффициенты по методу наименьших квадратов.
Результат сохраняем в форме двумерного массива, состоящего из 2 столбцов.
При следующем запуске программы добавим случайную составляющую к указанному набору значений и снова рассчитаем коэффициенты.

getData(int n) {
double **f;
f = new double*

[2];
f[0] = new double[n];
f[1] = new double[n];
for(int i=0; i f[0][i] = (double)i;
f[1][i] = 8*(double)i - 3;
// Добавление случайной составляющей
//f[1][i] = 8*(double)i - 3 + ((rand()%100)-50)*0.05;
}
return f;
}

*a, double *b, int n) {
double sumx =

0;
double sumy = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for(int i=0; i sumx += x[0][i];
sumy += x[1][i];
sumx2 += x[0][i]*x[0][i];
sumxy += x[0][i]*x[1][i];
}
*a = (n*sumxy - (sumx*sumy))/(n*sumx2-sumx*sumx);
*b = (sumy - *a*sumx)/n;
return;
}
int main() {
double **x, a, b;
int n;
system("chcp 1251");
system("cls");
printf("Введите количество точек: ");
scanf("%d",&n);
x = getData(n);
for(int i=0; i printf("%5.1lf - %7.3lf\n",x[0][i], x[1][i]);
getApprox(x, &a, &b, n);
printf("a = %lf\nb = %lf", a, b);
getchar(); getchar();
return 0;
}

аппроксимацией по методу наименьших квадратов. Подробнее о построении графика

функции описано здесь.
#include
const int NUM=70; // количество точек
LONG WINAPI WndProc(HWND, UINT, WPARAM,LPARAM);
double **x; // массив данных
// Определение коэффициентов линейной аппроксимации по МНК
void getApprox(double **m, double *a, double *b, int n) {
double sumx = 0;
double sumy = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for(int i=0; i sumx += m[0][i];
sumy += m[1][i];
sumx2 += m[0][i]*m[0][i];
sumxy += m[0][i]*m[1][i];
}
*a = (n*sumxy - (sumx*sumy))/(n*sumx2-sumx*sumx);
*b = (sumy - *a*sumx)/n;
return;
}

может содержать несколько рядов данных)
double ** getData(int n) {

double **f;
double a, b;
f = new double* [3];
f[0] = new double[n];
f[1] = new double[n];
f[2] = new double[n];
for(int i=0; i double x = (double)i * 0.1;
f[0][i] = x;
f[1][i] = 8*x - 3 + ((rand()%100)-50)*0.05;
}

i

a*x + b;
}
return f;
}
// Функция рисования графика
void DrawGraph(HDC hdc, RECT rectClient, double **x, int n, int numrow=1) {
double OffsetY, OffsetX;
double MAX_X = 0;
double MAX_Y = 0;
double ScaleX, ScaleY;
double min, max;
int height, width;
int X,Y; // координаты в окне (в px)
HPEN hpen;
height = rectClient.bottom - rectClient.top;
width = rectClient.right - rectClient.left;

max = x[0][0];
for(int i=0; i

min)
min = x[0][i];
if(x[0][i] > max)
max = x[0][i];
}
double temp = max - min;
MAX_X = max - min;
OffsetX = min*width/MAX_X; // смещение X
ScaleX = (double)width/MAX_X; // масштабный коэффициент X

x[1][0];
max = x[1][0];
for(int i=0; i

j=1; j<=numrow; j++) {
if(x[j][i] < min)
min = x[j][i];
if(x[j][i] > max)
max = x[j][i];
}
}

max*height/(MAX_Y); // смещение Y
ScaleY = (double)height/MAX_Y; // масштабный

коэффициент Y
// Отрисовка осей координат
hpen = CreatePen(PS_SOLID, 0, 0); // черное перо 1px
SelectObject(hdc, hpen);
MoveToEx(hdc,0,OffsetY,0); // перемещение в точку (0;OffsetY)
LineTo(hdc, width, OffsetY); // рисование горизонтальной оси
MoveToEx(hdc,OffsetX,0,0); // перемещение в точку (OffsetX;0)
LineTo(hdc, OffsetX, height); // рисование вертикальной оси
DeleteObject(hpen); // удаление черного пера
// Отрисовка графика функции
int color = 0xFF; // красное перо для первого ряда данных
for(int j=1; j<=numrow; j++) {
hpen = CreatePen(PS_SOLID, 2, color); // формирование пера 2px
SelectObject(hdc, hpen);
X = (int)(OffsetX + x[0][0]*ScaleX); // координаты начальной точки графика
Y = (int)(OffsetY - x[j][0]*ScaleY);
MoveToEx(hdc,X,Y,0); // перемещение в начальную точку
for(int i=0; i X = OffsetX + x[0][i]*ScaleX;
Y = OffsetY - x[j][i]*ScaleY;
LineTo(hdc, X, Y);
}
color = color << 8; // изменение цвета пера для следующего ряда
DeleteObject(hpen); // удаление текущего пера
}

LPSTR lpCmdLine, int nCmdShow) {
HWND hwnd;
MSG msg;

WNDCLASS w;
x = getData(NUM); // задание исходных данных
memset(&w,0,sizeof(WNDCLASS));
w.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;
w.lpfnWndProc = WndProc;
w.hInstance = hInstance;
w.hbrBackground=CreateSolidBrush(0x00FFFFFF);
w.lpszClassName = "My Class";
RegisterClass(&w);
hwnd = CreateWindow("My Class", "График функции",
WS_OVERLAPPEDWINDOW, 500, 300, 500, 380, NULL, NULL,
hInstance, NULL);
ShowWindow(hwnd,nCmdShow);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0)) {
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
// Оконная функция
LONG WINAPI WndProc(HWND hwnd, UINT Message,
WPARAM wparam, LPARAM lparam) {
HDC hdc;
PAINTSTRUCT ps;
switch (Message) {
case WM_PAINT:
hdc = BeginPaint(hwnd, &ps);
DrawGraph(hdc,ps.rcPaint, x, NUM, 2); // построение графика
EndPaint(hwnd,&ps);
break;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
break;
default:
return DefWindowProc(hwnd, Message, wparam, lparam);
}
return 0;
}