Презентация на тему Алгебра логики

которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

в  XIX в., т.е. задолго до появления науки информатики

и компьютеров.
Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII в. Г. В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам.
Однако как самостоятельный раздел математики логика начала формироваться только с середины XIX в..

“и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда”

и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Логические

связки "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

“Петров — шахматист” при помощи связки “и” можно получить

составное высказывание “Петров — врач и шахматист”, понимаемое как “Петров — врач, хорошо играющий в шахматы”. При помощи связки “или” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “Петров — врач или шахматист”, понимаемое в алгебре логики как “Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно”. Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

высказываниями и имеет свое название и обозначение: (1) Операция,

выражаемая словом “не”, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком щ ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. “Луна — спутник Земли” (А); “Луна — не спутник Земли” ( ).

conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой

"•" (может также обозначаться знаками Щ или &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание “10 делится на 2 и 5 больше 3” истинно, а высказывания “10 делится на 2 и 5 не больше 3”, “10 не делится на 2 и 5 больше 3”, “10 не делится на 2 и 5 не больше 3” ложны.

смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение)

или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание “10 не делится на 2 или 5 не больше 3” ложно, а высказывания “10 делится на 2 или 5 больше 3”, “10 делится на 2 или 5 не больше 3”, “10 не делится на 2 или 5 больше 3” истинны.

... следует”, “... влечет ...”, называется импликацией (лат. implico

— тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание А  В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно. Например, даны 2 высказывания: “данный четырёхугольник — квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В).

“если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать

окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А В истинно:

А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.
Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

"необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или

двойной импликацией и обозначается знаком  или ~ . Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется

импликацией.
Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией.
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание.
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию.

формулой. Формулы, принимающие значение “истина” при любых значениях истинности входящих

в них переменных называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Формулы, принимающие значение “ложно” при любых значениях истинности входящих в них переменных , называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Две формулы при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимающие одинаковые значения, называются равносильными.

схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Таблица истинности это

табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда

на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.
Когда хотя

бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

(инвертор) реализует операцию отрицания.
Если на входе схемы 0,

то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0.

НЕ
Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и

осуществляет отрицание результата схемы И.

НЕ
Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и

осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.

аргументов результат не изменяется
A & B = B &

A
существует следующий закон
A & (B & C)  = (A & B) & C
Также существуют некоторые тождества, опирающиеся на особые свойства функции, например:
1) A & (~A) = ЛОЖЬ
2) (~A) & (~B) = ~ (A v B)
Аналогично, сложение и логическое «ИЛИ»:
от перестановки мест аргументов результат не изменяется
A v B =  B v A
существует следующий закон
(A v B) v С = A v (B v C)
можно выносить общий множитель за скобки
(A & B) v (С & B) = B & (A v C)
И также некоторые собственные законы:
1) A v (~A) = ИСТИНА
2) (~A) v (~B) = ~ (A & B)