Презентация на тему Элементы алгебры логики. Математические основы информатики

парней, каждый из которых знал, какая дорога ведет к

озеру. На вопросы они отвечали только «да» или «нет». Один из них всегда говорил правду, другой всегда лгал. Все это знал турист, но не знал, какая из двух дорог ведет к озеру.

Турист задал один вопрос одному из парней и узнал какая дорога ведет к озеру. Какой вопрос мог задать турист парню?

Турист задал два вопроса одному из парней и узнал какая дорога ведет к озеру. Какие вопросы мог задать турист парню?

формах и законах человеческого мышления.
Формальная логика – это

наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления.

Алгебру логики (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).
Вильгельм Лейбниц

(1646-1716). Основоположник математической логики (пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические).

какие способы рассуждения правильные, а какие нет.
Задача логики –

описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.

- это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

В структуре каждого понятия различают две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта.
Чтобы раскрыть содержание понятия, следует выделить признаки, необходимые и достаточные для выделения данного предмета по отношению к другим предметам.
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется, и может быть представлено в форме множества объектов, состоящего из элементов множества.

Понятие.

помощью понятий, посредством которой что- либо утверждают или отрицают

о предметах, их свойствах и отношениях между ними. Высказывание может быть истинно либо ложно.

Истинное суждение=1, ложное=0

Каждое высказывание состоит из трех элементов :
субъекта - Понятие о предмете мысли;
предиката - Понятие о свойствах и отношениях предмета мысли ;
связки (двух терминов и связки) - Отношения между субъектом и предикатом выражается связкой «есть», «не есть», «является», «состоит» и т. д.

Высказывание.

процессора, памяти и внешних устройств» является субъектом, предикатом и

связкой.

«Компьютер» - субъект,
«процессора, памяти и внешних устройств» - предикат,
«состоит» - связка.

вокруг Солнца.
Москва - столица.
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями

не являются.
Без стука не входить!
Откройте учебники.
Ты выучил стихотворение?

Высказывание

Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:
Это высказывание ложное.

снег пошел!
У треугольника 3 стороны и 3 угла.
Верно ли,

что П=3,14?
Переведите число в десятичную систему.
Запишите домашнее задание

конкретные (частные) факты.
Пример: 7-2=5

Луна-спутник Земли.

ОБЩИЕ суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений.
Пример: Всякий человек – млекопитающее.
В любом прямоугольном треугольнике есть угол в 900.

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.

называется простым, если никакая его часть сама не является

высказыванием.
Пример: Завтра пойдет дождь. Я буду смотреть дома телевизор.

Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.
Пример: Если завтра пойдет дождь, то я буду смотреть дома телевизор.

соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники

равны.

Луна – спутник земли.

Студент запланировал выполнить следующие дела: подготовиться к зачету, побывать на тренировке, почитать интересную книгу, поиграть в шахматы.

из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено

новое суждение (заключение).

Примеры:
Если король под шахом и ему некуда ходить, то – мат.
Если идет дождь, то необходимо открыть зонтик.

Умозаключение

Задания:

В следующих умозаключениях выделите посылки и заключения. Определите, истинны они или нет:
Произведение двух чисел равно 0, если хотя бы один из сомножителей равен 0.
Если А*В=0, то А>0 и В>0.

и преобразования высказываний.
В алгебре логики высказывания обозначают буквами и

называют логическими переменными.
Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (В = 0).
0 и 1 называются логическими значениями.

Алгебра логики

в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным

тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначения: ∧ , ×, &, И.

Таблица истинности:

Графическое представление

A

B

А&В

каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся

ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Обозначения: V, |, ИЛИ, +.

Таблица истинности:

Графическое представление

A

B

АVВ

каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого

противоположно исходному.
Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .

Таблица истинности:

Графическое представление

A

Ā

ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание.
Если

А, то В; Из A следует В; А влечет В; для А необходимо В; для В достаточно А;

Обозначения: или -> .

Таблица истинности:

ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание,

являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Обозначения: , ~ .

Таблица истинности:

Конъюнкция; 3. Дизъюнкция; 4. Импликация; 5. Эквивалентность.

из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода

информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.
 
Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний:
А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.

Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

( 1 & 0 ) &(1 \/ 0) = (0 & 1) & (1 \/ 0) = 0

Составное высказывание ложно.

информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С

= {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
 
Определите истинность составных высказываний:

а) (А & В) & (C v D);

б) (А & В) => (C v D);

в) (А v В) ⬄  (C & D);

г) А ⬄ B .

\/ 1) \/ (1 \/ 0);
        б) ((1

\/ 0) \/ 1) \/ 1;
        в) (0&1)&1;
        г) 1&(1&1)&1;
        д) ((1 \/ 0)&(1&1))&(0 \/ 1);
        е) ((1&1) \/ 0)&(0 \/ 1); .
       ж) ((1&0) \/ (1&0)) \/ 1;
       з) ((0&0) \/ 0)&(1 \/ 1)
      

число переменных в выражении
подсчитать общее число логических операций в

выражении

установить последовательность выполнения логических операций

определить число столбцов в таблице

заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции

определить число строк в таблице без шапки: m =2n

выписать наборы входных переменных

провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические
операции в соответствии с установленной последовательностью

2,
m (количество строк без шапки)= 22 = 4.
Операций

– 2, значит количество столбцов будет: n+2=4
Приоритет операций: &, V

Пример построения
таблицы истинности

построения
таблицы истинности