Презентация на тему Пространственные базы данных

геометрическом пространстве (обычно двух- или трехмерном)
Форма (фигура) и расположение

– неотъемлемые компоненты
Чаще всего у координат численные значения (с определенной дискретностью и нижней и верхней границами)
Области применения: геоинформационные системы (ГИСы), системы автоматизированного проектирования (САПРы), графический интерфейс пользователя (GUI), виртуальная реальность, компьютерные игры, анимация и т.д.

пространственных объектов:
Идентификационная информация
Описание
Пространственная протяженность

Классификация объектов на основе

размерности:
Примечание: зависит от приложения, работающего с объектом
а) Объекты нулевой размерности = точки
Формы нет или знание формы объекта не требуется
Площадь объекта очень мала в сравнении со всем рассматриваемым пространством (например, города на картах, здания на картах, пересечения дорог, и т.д.)
Могут появляться в зависимости от масштаба карта (город – точка на мелкомасштабной карте и двухмерный объект на крупномасштабной карте)

дороги на картах
Основной геометрический объект – ломаная линия. Состоит

из конечного множества отрезков (или сегментов или ребер), таких что любая (за исключением двух точек – начала и конца ломаной линии) из конечных точех этих отрезков принадлежит двум отрезкам
Простая ломаная линия – нет пересечений
Замкнутая ломаная линия – точки начала и конца ломаной линии совпадают
Любая кривая может быть представлена с заданной точностью ломаной линией
в) Двухмерные объекты = объекты на плоскости
Сущности-объекты имеют не нулевую площадь
Основной геометрический объект – полигон (многоугольник). Полигон – область, задаваемая замкнутой ломаной линией
Выпуклый полигон P: для любых A,B  P, отрезок AB целиком в P
г) Трехмерные объекты = объемные объекты
(полиэдры=многогранники)

непрерывным1 полем значений, т.е. с помощью некой функции (например,

по координатам x и y)
Для каждой точки пространства может использоваться несколько атрибутов
Примеры:
Температурное поле (температура в разных точках)
Атмосферное давление в разных точках
Высота над уровнем моря (на физических картах)
Значения уровня серого цвета на полутоновых цифровых изображениях
Значения красного, синего, зеленого компонентов на цветных (24-битных) изображениях

---------
1 – не в математическом смысле

на ячейки(соты) (возможны разные формы ячеек)
Фиксированные ячейки: одинаковые ячейки

(сетка прямоугольных координат)
Произвольные ячейки: размеры и формы ячеек различаются между собой
Мозаика с регулярной/нерегулярной структурой
По умолчанию: N x M прямоугольных (обычно квадратных) ячеек, которые называются пикселами
Естественное (дискретное) представление полевых данных
В случае объектных данных: один пиксел для точки, набор (множество) пикселов для ломаной линии или полигона
Более точное представление (с более мелкими ячейками) потребует больше места для хранения; обработка займет больше времени

объектных моделей пространства
Базисные элементы (примитивы): точки и ребра
Полигон задается

множеством точек, аналогично ломаная линия
2*n возможных описания полигона с n вершинами (выбор стартовой вершины, обход по/против часовой стрелки)
Область – множество полигонов
Представление может дополняться ограничениями (например, только простые1 полигоны)
Векторное представление полевых данных; цифровые модели местности (digital elevation models):
Значения задаются только для подмножества точек
Значения в остальных точках интерполируются
Пример: триангулированные неравномерные сети (triangulated irregular networks)
------------------
1 – граница которого не пересекается сама с собой

используемый примитив: полуплоскость (см.математическое определение)
Солидный математический базис
Полуплоскость в d-мерном

пространстве задается неравенством: a1x1 + a2x2 + ... + adxd + ad+1  0
Выпуклый полигон – пересечение конечного числа полуплоскостей
Полигон – объединение конечного числа выпуклых полигонов
Отрезок (ребро) линии – одномерный выпуклый полигон (пересечение двух лучей или полупрямых)
Ломаная линия – объединение нескольких отрезков

базах данных
1) Инкрементные алгоритмы
Решить задачу для небольшого подмножества входных

данных (точек), затем решить задачу для начального множества плюс одна точка из остающихся и т.д. пока все точки не будут рассмотрены
Пример: нахождение выпуклой оболочки для множества точек
Простейший метод с временной сложностью O(n2):
Построить выпуклую оболочку H3 – для первых трех точек
Для каждой из остальных точек { pi }, i>3:
Если pi внутри Hi-1, то Hi = Hi-1 (проверка «внутри»:
при обходе Hi-1 по часовой стрелке, pi остается справа)
Иначе, добавить pi к Hi-1, возможно удалив старые точки (для pi найти соседние такие точки pa, pb, чтобы угол между отрезками (pa , pi) и (pb , pi) был наибольшим)
Оптимальный алгоритм: O(n log n), используется предварительная сортировка точек

разбивается на несколько легко решаемых подзадач
«Властвуй»: объединение снизу-вверх всех

решений в одно общее решение
Аналогия: бинарное дерево (см.следующий слайд)
Пример: пересечение полуплоскостей
Для простоты считаем, что конечный результат – выпуклый полигон внутри прямоугольника R
Исходное множество из n полуплоскостей рекурсивно разбивается пополам до тех пор пока мы не получим n отдельных полуплоскостей (это дает нам бинарное дерево)
Для каждой из полуплоскостей определяем ее пересечение с R (каждое такое пересечение - выпуклый полигон)
Объединение результатов: рекурсивно снизу-вверх определяем попарные пересечения полигонов
Сложность: O(n log n), т.к. сложность нахождения пересечения выпуклых полигонов - O(n)

властвуй»:

вертикальные полосы, таким образом, чтобы линии, разделяющие полосы, давали

нужную информацию для решения проблемы
Процесс «заметания» заключается в перемещении вертикальной прямой слева направо, с остановками на границах вертикальных полос и сохранения/обновления информации необходимой для решения
Используются две структуры данных:
Статус заметающей прямой: содержит объекты, связанные с текущей позицией прямой
Перечень событий: содержит границы полос, известные заранее или определяемые динамически
Пример: найти все попарные пересечения множества прямоугольников, стороны которых параллельны координатным осям
Время работы в наихудшем случае O(n2)
Метод на основе заметающей прямой со сложностью прямо пропорциональной количеству находимых объектов (методы с такой сложностью называются output-sensitive methods)

верхние x-координаты
прямоугольников и поместить результат в E
Пусть L=
while

(E  ) do
begin
p = Min(E)
Извлечь (удалить) p из E
if p - нижняя граница прямоугольника r then begin Найти (и выдать как результат) все прямоугольники из L,
которые пересекаются с r
Вставить r в L
endif
if p - верхняя граница прямоугольника r then
Удалить r из L
endwhile
end

(внутри или вне)
Пересечение отрезков прямых
Пересечение ломаных линий
Пересечение полигонов
Отсечение с

помощью прямоугольника (отсечение объекта(-ов) вне границ прямоугольного окна)
Разбиение полигона на треугольники (триангуляция)
Разбиение полигона на трапеции
Представление полигона в виде нескольких выпуклых полигонов

Ограничение, накладываемые на объекты, упрощают алгоритмы; например, в случае полигонов:
Простой полигон: граница не пересекается сама с собой
Монотонный полигон: граница составлена из двух монотонных цепочек вершин: верхней и нижней цепочек вершин полигона (цепочка вершин монотонна, если любая вертикальная линия пересекает образуемую ломаную линию не более одного раза)
Выпуклый полигон (было дано ранее)

фигурами затруднительна 
Рассматривают минимальные ограничивающие прямоугольники (далее

MBR1): наименьший прямоугольник, охватывающий геометрический объект на плоскости, со сторонами, параллельными координатным осям
Значения координат отображаются на интервал [0, 1); пространство – гиперкуб, обозначаемый Ek

Факторы, влияющие на производительность:
Выбранная структура данных
Размерность пространства
Распределение объектов в пространстве:
Плотность в точке P = число прямоугольников, содержащих P
Глобальная плотность = максимум по локальным плотностям

----------
1 - Minimum bounding rectangle или сокращенно MBR; другое название – ограничивающие блоки (bounding box)

объектам:
Запросы по точному совпадению: не типичны для пространственных объектов,

за исключением операций вставки
Запрос по точке: для заданной точки P  Ek найти все прямоугольники R такие, что P  R
Пересечение прямоугольников: для заданного прямоугольника S  Ek найти все прямоугольники R такие, что S  R  
Поиск «включающих» прямоугольников: для заданного прямоугольника S  Ek найти все прямоугольники R такие, что S  R (R включает в себя S)
Поиск прямоугольников «внутри»: для заданного прямоугольника S  Ek найти все прямоугольники R такие, что R  S (R внутри S)
Запрос по объему: по заданным v1, v2  (0,1), v1  v2 найти все прямоугольники с объемом (площадью) в интервале [v1, v2]
Пространственное соединение: для двух множеств k-мерных прямоугольников найти все пары, удовлетворяющие заданному условию соединения (пересечение, включение, нахождение внутри)

основе трансформации координат
k-мерный прямоугольник можно представить 2k-мерной точкой
Возможные варианты

(на примере двухмерного пр-ва):
(cx, cy, ex, ey), где (cx, cy) – центральная точка, а ex и ey – расстояния от центральной точки до сторон прямоугольника
(lx, ly, ux, uy), где (lx, ly) и (ux, uy) – нижняя вершина слева и верхняя вершина справа соответственно
Достоинство варианта a): координаты расположения cx и cy отличны от координат протяженности ex и ey

Частный случай:
Одномерное пространство [0, 1)
Прямоугольник = отрезок  [0, 1)
Варианты представления:
(c, e) = (центр, половина длины)
(l, u) = (начальная точка, конечная точка)

пр-ва):








Замечания:
В случае применения методов доступа к точечным данным возникает

проблема «пустых треугольников» (или «мертвых регионов»), см.рисунок выше
Вариант представления с координатами центра и протяженности может быть улучшен, если нам известен верхний предел размера стороны прямоугольника (тогда, например, в одномерном случае можно рассматривать только область [0, limit/2]); в этом случае «живое» пространство будет трапецией, а «мертвые» треугольники сравнительно небольшими

c

l

0

1

L1

L2

L3

L4

0.5

0

1

e









P1

P2

P3

P4

0

1

u



S1



S2



S3



S4

1

вычисления укажут на области, соответствующие тому или иному типу

запросов
Пример: одномерные прямоугольники (=отрезки) могут быть представлены точками в двухмерном пространстве (с помощью координат центра и протяженности); для прямоугольника в запросе S = (c, e) имеем:









Недостаток: близко расположенные, но различного объема, прямоугольники могут располагаться довольно далеко друг от друга в двухмерном пространстве

основе отсечения
Пространство разбивается на непересекающиеся прямоугольные области (также как

и в большинстве методах доступа к точечным данным, см.тему 8)
Расположение прямоугольника R может быть следующим:
R внутри одной из областей: простая обработка (как и в методах доступа к точечным данным)
R пересекается как минимум с двумя областями
В случае «отсечения»: каждая область пересечения (R с областями на которые разбито пр-во) рассматривается (в том числе хранится) как самостоятельный прямоугольник, но при этом все отсеченные части указывают на один и тот же изначальный объект

напрямую с помощью любого метода доступа к точечным данным
Точки

и прямоугольники могут храниться в одном и том же месте
Недостатки:
Повышенные требования к пространству (многочисленные указатели на один и тот же объект)
Дополнительные издержки при операциях вставки и удаления
В случае высокой глобальной плотности необходимы избыточные страницы
Производительность:
Запросы по точному совпадению, по точке и поиск включающих прямоугольников потребуют доступа только к одной странице (при условии, что нет переполнения)
Пересечение прямоугольников и поиск прямоугольников «внутри» может потребовать просмотра всех отсеченных частей прямоугольника запроса; количество false drops может быть большим
Пример реализации:
R+-дерево [3]: сбалансированное внешнее (т.е. данные об объектах хранятся только в листьях) дерево; похоже на R-дерево (см.далее)

основе перекрывающихся областей
Каждый прямоугольник представлен в базе данных только

один раз (в отличие от R+-дерева)
Прямоугольники сгруппированы по дисковым страницам
Каждая область (образующая группу прямоугольников) задается минимальным ограничивающим прямоугольником
Области могут перекрываться
Пример:

ухудшает производительность
Степень перекрытия MBR’ов может быть много выше степени

перекрытия рассматриваемого множества прямоугольников
Запрос по точному совпадению, вставка и удаление могут потребовать доступа к более чем одной странице
Пересечение прямоугольников и поиск прямоугольников внутри могут требовать доступа к одним и тем же страницам, при этом поиск прямоугольников внутри дает как правило много меньшее количество результатов (т.к. каждый прямоугольник внутри также является пересекающимся)

Обобщение:
Области (минимальные ограничивающие прямоугольники) могут быть сами сгруппированы, образуя прямоугольники более высокого уровня
Это позволяет построить древовидную структуру

(rectangle tree):
Сбалансированная динамическая внешняя древовидная структура, где узлы –

страницы
Хранит как точки так и прямоугольники
Широко используется; например, в пространственном модуле Oracle
Виды узлов:
Лист содержит пары (R,TID), где R – MBR пространственного объекта, а TID – указывает на точное описание объекта
Внутренний узел содержит пары (R, ptr), где R – MBR прямоугольников в узле-потомке, а ptr – указатель на узел-потомок
Свойства:
Прямоугольники на пути от вершины дерева к листьям вложены друг в друга (т.е. прямоугольник узла-потомка внутри прямоугольника узла-родителя)
Какие-либо ограничения на перекрытие прямоугольников (за исключением только что упомянутого) отсутствуют, но (!) количество перекрытий должно минимизироваться
При емкости страницы в M записей, для количества записей на одной странице определяется нижняя граница - m  M/2
Для N записей, высота (дерева)  logmN1 и количество узлов  N/(m 1)

точку
Начиная с корня, рекурсивно просматриваем все поддеревья, MBR’ы которых

содержат данную точку. Дойдя до уровня листьев, получим описания объектов, каждый из которых необходимо проверить на предмет содержания точки
Запрос на пересечение: найти объекты, пересекающиеся с заданным прямоугольником
Обработка такая же как и в a), но проверяется не содержание точки, а пересечение объектов
Выполнение других типов запросов происходит похожим образом

Производительность:
Гарантия отсутствует, т.к. может требоваться просмотр значительного количества узлов дерева
Степень перекрытия MBR’ов, описываемых во внутренних узлах, определяет производительность
Самая важная роль при минимизации степени перекрытия у операции вставки

L для вставляемого прямоугольника R
Если в L есть место

для R, осуществить вставку; иначе, вызвать процедуру SplitNode, возвращающую листья L и LL, которые совместно содержат R и старые объекты из L
Вызвать процедуру AdjustTree с входными параметрами L и возможно LL. Корректировка (дерева) ведет к увеличению ограничивающих прямоугольников в узлах-родителях, и возможно вызовет расщепление узлов
Если корневой узел был расщеплен на два, то создать новый корневой узел, узлами-потомками которого будут эти два образовавшихся узла

является листом, вернуть N
Просмотреть пары (указывающие на поддеревья) в

узле N. Выбрать ту пару, чей MBR при включении прямоугольника R увеличится наименьшим образом (в идеале, вообще не изменится). Пусть F указатель определенной таким образом пары. В спорных случаях (когда приращение MBR’ов одинаково) – выбирать прямоугольник с наименьшей площадью.
Переопределить N как узел на который указывает F и продолжить с шага 2

но может распространиться наверх
Задача: минимизировать степень перекрытия MBR’ов
Эвристическая процедура:

попытаться минимизировать общую площадь двух прямоугольников, образующихся в результате расщепления
Два способа (второй на след.слайде)
SplitNode (квадратичное время):
Найти два прямоугольника R1, R2, которые в случае помещения в один и тот же узел, приведут к наибольшой потере пространства, т.е. для которых Area(MBR(R1, R2){R1, R2}) максимальна. R1 и R2 будут «ядрами» двух формируемых групп прямоугольников
Остановить процедуру, если все прямоугольники распределены по своим группам. Если все остающиеся прямоугольники должны быть отнесены к одной из групп (для того чтобы было выполнено условие минимально допустимого количество записей в данной группе, см.слайд 246), то поместить прямоугольники в эту группу и остановиться
Для каждого из остающихся прямоугольников вычислить d1 = увеличение площади MBR, если прямоугольник отнесен к группе 1, и d2 (если к группе 2). Выбрать прямоугольник с наибольшим значением d1-d2, и вставить его в группу для которой d-значение минимально. Перейти к шагу 2.

выше:
Выбор «ядер» (первых элементов в группах)
Выбор следующего прямоугольника (шаг

3)

SplitNode (линейное время):
Выбор первых элементов для групп: для каждого измерения найти два прямоугольника, которые имеют наибольшую нижнюю границу (по этому измерению) и наименьшую верхнюю границу соответственно; определить максимум (по всем измерениям d) следующего выражения:
|Max(нижн.граница R1 по измерению d)  Min(верх.граница R2 по измерению d)|
длина всего рассматриваемого множества прямоугольников по измерению d ;
другими словами, будет выбрана пара прямоугольников с
наибольшим нормализованным расстоянием между нижней и
верхней гранями
Выбор следующего прямоугольника: выбирать любой из остающихся

Квадратичная процедура работает до определенной степени лучше линейной, в некоторых случаях много лучше линейной

L был расщеплен
Расширение границ прямоугольников, включающих прямоугольники листа L

Расщепление внутренних узлов при необходимости

AdjustTree:
Зададим N = L и, если существует, NN = LL
Если N – корневой узел, то остановиться
Пусть узел P – родитель N и PN – запись в P об узле-потомке N. Скорректировать MBR в PN (MBR прямоугольников из узла N)
Если NN существует, то создать новую запись PNN, указывающую на NN и хранящую MBR прямоугольников из узла NN
Если P вмещает в себя PNN, то вставить PNN в P, иначе:
Вызвать SplitNode, производящую P и PP, совместно содержащие PNN и старые записи узла P
Переопределить N = P и NN = PP, и перейти к шагу 2

R, путем просмотра всех поддеревьев, MBR’ы которых пересекаются с

R
Удалить R из L
[подготовка к сжатию дерева] Задать N = L и Q = empty (= множество удаляемых узлов)
Если N – корневой узел, то перейти к шагу 7, иначе: пусть узел P – родитель узла N и PN – запись в P об узле N
[проверка условия минимальной заполнености узла] Если в узле N менее чем m (см.слайд 246) записей, то удалить PN из P and добавить узел N в множество Q, иначе скорректировать MBR в PN
Переопределить N = P и перейти к шагу 4
[передислокация записей из удаленных узлов] Заново вставить в R-дерево все записи из множества Q. Записи из удаленных листов вставляются в листы (с помощью операции стандартной вставки). В тоже время, записи из удаленных внутренних узлов вставляются во внутренние узлы так, чтобы листья, образуемых ими поддеревьях, были на том же уровне, что и листья основного дерева
Если у корневого узла только один узел-потомок, то сделать потомка новым корневым узлом

вставки:
Сортировка всех прямоугольников на основе расстояний между их центрами

и центром соответствующих MBR’ов
Определенная часть наиболее удаленных прямоугольников удаляется и затем повторно вставляется
Более сложная эвристическая процедура для расщепления:
См.[5]
Временная сложность O(M*logM) для M прямоугольников
Превосходит R-дерево
Хорошо работает в качестве метода доступа к точечным данным
«Эталонная» структура данных для других структур пространственных данных (пожалуй, наиболее известный метод доступа к пространственным данным)

TV-деревья, и ряд других структур, особенно в пространствах большой

размерности
Основное предположение: с ростом размерности пространства последовательный индекс становится все более эффективен, т.к. перекрытия становятся все больше и больше
Решение: внутренние узлы могут быть произвольного размера; суперузел содержит более одной страницы
Многостраничный суперузел с (физически) последовательно расположенными страницами обрабатывается быстрее, чем такое же число отдельных страниц
Для пространств большой размерности большие суперузлы предпочтительны
X-tree настраивается на число измерений
X-tree – «эталонная» структура для других структур данных высокой размерности

двух множеств пространственных объектов найти пары, удовлетворяющие заданному пространственному

предикату, например:
Равенство
Пересечение (перекрытие)
Включение (асимметрично)
Близость
Другие топологические зависимости (слева от, справа от, на севере от, и т.д.)
В силу использования MBR’ов требуются два шага:
Фильтрация: найти пары MBR’ов, удовлетворяющих предикату
Уточнение: для каждой из пар, найденных на шаге 1, осуществить окончательную проверку, учитывая реальную геометрию объектов

основе R-дерева
Условие соединения – пересечение

Стандартный алгоритм:
Основан на обходе

деревьев в глубину
Начать с корневых узлов
На каждом шаге рассматриваются два узла (N1, N2); вычисляются пары пересекающихся записей (e1, e2), где e1N1, e2  N2
Процедура вызывается рекурсивно для поддеревьев, задаваемых e1 и e2
При достижении уровня листов происходит сравнение непосредственно самих объектов
Совершенствование алгоритма:
Проверять только пары (e1, e2), в которых и e1 и e2 пересекаются с (MBRN1  MBRN2)
Метод заметающей прямой: рассматривать два множества прямоугольников (красные и синие), искать пересечения только красных с синими

компоненты:
Описательная часть с численно-текстовыми атрибутами, например, город – название,

население и т.д.
Пространственная часть (то что мы называем пространственным объектом) описывает геометрию (расположение, форму), например, город: полигон в двухмерном пространстве
Элементарные и сложные (сложно-составные) объекты:
Сложные объекты состоят из других элементарных/сложных объектов
Тема (theme):
Класс (тип) географического объекта
Соответствует отношению в реляционной бд; тема задается схемой и есть экземпляры темы (класса)
Примеры тем: реки, города, страны, дороги и т.д.

на подмножество описательных атрибутов:
Соответствует реляционной проекции
Визуальный результат: часть атрибутов

на карте пропадает
Выборка на основе описательных атрибутов:
Соответствует реляционной выборке
Остаются только те географические объекты, что удовлетворяют условиям выборки
Визуальный результат: часть объектов пропадает
Геометрическая выборка:
Объекты в заданном окне: выбираются объекты (возвращаются целиком), пересекающиеся с заданным прямоугольником
Запрос по точке: выбираются объекты, геометрия которых содержит данную точку
Отсечение по заданному окну: выбираются объекты (возвращаются только(!) пересечения, а не целые объекты), пересекающиеся с заданным прямоугольником

две темы, имеющие одинаковые схемы
Наложение тем:
Рядовая операция

в геоинформационных приложениях
Пространственное соединение: вычислить пересечения
На основе пересечений создаются новые географические объекты:
Описательные атрибуты берутся от обоих пересекающихся объектов
Пространственная компонента определяется геометрией пересечения
Метрические операции:
Например, расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом
Топологические операции:
Например, список стран, имеющих общую границу с Россией (Украина, Белоруссия, Литва, Латвия и т.д.)
Список городов до которых можно долететь (без дополнительной посадки) из Санкт-Петербурга

ArcInfo:
Задумана как набор инструментальных средств разработки
Большой выбор пространственных

функций
Подсистемы: Arc – пространственные данные, Info – описательные данные
Представление пространственных данных: векторное, растровое (сеточное), триангуляционное
2) Расширения реляционных СУБД
Oracle Spatial:
Новый пространственный тип данных
SQL расширен операторами для манипуляций с пространственным типом данных
Пространственное индексирование на основе Z-порядка (см.предыдущую тему)
Оптимизация запросов, например, для пространственных соединений

возможности:
Геометрические типы: точка, линия, прямоугольник, полигон, окружность и т.д.
Операции

с геометрическими объектами: сдвиг, масштабирование и т.д.
Индекс на основе обобщенного R-дерева
Вставка геометрических объектов в виде строки координат в SQL, например, треугольник – ‘((1,2), (4,5), (3,1))’
В тоже время:
Не поддерживаются топологические операции (например, близости)
Не поддерживается наложение тем
Не поддерживается пересечение полигонов

полигона) полигон в двухмерном пр-ве, задаваемый списком точек по

часовой стрелке – P = ((x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn)). Предложить правило (основные принципы), определяющее находится ли заданная точка (x, y) внутри P. Предложите варианты правила в случаях, если полигон: выпуклый, не выпуклый, точки на гранях полигона не внутри P.
Предложить способ (основные принципы) для нахождения пересечения двух треугольников в двухмерном пространстве.