Слайд 2
Длина окружности.
Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется
по формуле:
C = 2πR,
где R — радиус окружности.
Установлено, что
какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π ( читается - "пи" ).
Обозначим длину окружности буквой S, а ее диаметр буквой d и
запишем формулу π=S
d
Число π приблизительно равно 3.14
Более точное его значение π = 3,1415926535897932
Исходя из формулы выше, выведем, чему равна окружность, если известен диаметр ( d ) S= πd
Если известен радиус ( r ) , то формула длины окружности будет выглядеть так: S=2 π r
Площадь круга вычисляется по формуле
где: S — площадь круга r — радиус
Слайд 5
Вывод формулы, выражающей длину окружности.
Путь C и C’
— длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в
каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Pn и P'n их периметры, а через an и a'n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника an = 2R sin (180°/n) получаем:
Pn = n · an = n · 2R sin (180°/n),
P'n = n · a'n = n · 2R' sin (180°/n).
Следовательно,
Pn / P'n = 2R / 2R'. (1)
Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, P'n → C', n → ∞, то предел отношения Pn / P'n равен C / C'. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R'. Таким образом, C / C' = 2R / 2R'. Из этого равенства следует, что C / 2R = C' / 2R', т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π ("пи").
Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R
Слайд 6
Как найти длину окружности?
С помощью рулетки измерьте длину
окружности.
Сделайте запись С = …
Линейкой измерьте диаметр окружности.
Сделайте
запись D =…
Найдите отношение длины окружности к её диаметру (разделите с помощью калькулятора длину окружности на диаметр).
Сделайте запись . Ответ округлите до десятых.
Занесите полученные результаты в таблицу на доске.
Подумайте, как найти С, зная D и . Запишите соответствующую формулу.
В полученной формуле запишите вместо D - 2R.
Слайд 7
Окружность.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, удалённых от
некоторой точки — центра окружности — на заданное расстояние,
называемое радиусом окружности.
Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, иногда этот случай исключается из определения.
Слайд 8
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков
одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Основные формулы
Длина окружности:
C
= 2∙π∙R
Длина дуги окружности:
R = С/(2∙π) = D/2
Диаметр:
D = C/π = 2∙R
Длина дуги окружности:
l = (π∙R) / 180∙α,
где α — градусная мера длины дуги окружности)
Площадь круга:
S = π∙R2
Площадь кругового сектора:
S = ((π∙R2) / 360)∙α
Уравнение окружности
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (xо;yо) имеет вид:
(x - xо)2 + (y - yо)2 = r2
Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
x2 + y2 = r2
Слайд 9
Связанные определения.
Радиус — не только величина расстояния, но
и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её
точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
Любые две не совпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
Слайд 10
Площадь круга.
Напомним, что кругом называется часть плоскости,
ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром O содержит
точку O и все точки плоскости, находящиеся от точки O на расстоянии, не большем R.
Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный n-угольник A1 A2 ... An, вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. 1). Очевидно, площадь S данного круга больше площади Sn данного многоугольника A1 A2 ... An, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С одной стороны, площадь S'n круга, вписанного в многоугольник, меньше Sn, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак,
S'n < Sn < S. (1)
Будем теперь неограниченно увеличивать число сторон многоугольника.
,
где rn — радиус вписанной в многоугольник окружности. При cos (180° / n) → 1,поэтому . Иными словами, при неограниченном увеличении сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому при . Отсюда из неравенств (1) следует, что при .
По формуле Sn = 1 / 2 Pn rn,
где Pn — периметр многоугольника A1 A2 ... An. Учитывая, что , , при , получаем . Итак, для вычисления площади S круга радиуса R мы получили формулу
S = πR2
