Презентация на тему по математике два замечательных предела

поэтому (6) принимает вид:
sin x

или sin x Т.к Х - острый угол, то sin x -величина положительная;
Разделив неравенства (7) на sin x получим

1< <

Или, взяв обратные отношения в этих неравенствах, будем иметь 1>sin x/x>cos x (8)
(поясним на примере: 1<5/2<7/2 – очевидно; возьмем обратные отношения 1>2/5>2/7)
Из тригонометрии известно, что если Х→0, то cos x→1. но т.к. отношение sin x/x согласно неравенству (8) заключено между единицей и cos x то оно и подавно стремится к единице.
Это стремление отношения sin x/x к единице хорошо просматривается, если величины, содержащие в неравенстве (8) представить на координатной оси (рис.5)

замечательного?

Воспользуемся понятием предела функции: lim f (x)=a
f (x)-a=b
C учётом этого (*) можно переписать так:
(9) Умножая (9) на x, получим:sinx-x=b*x или sinx=x+b*x (10)
В правой части равенства (10) (по условию)-это бесконечно малая величина,

порядка; пренебрегая этим слагаемым, получим: sinx x (*’)

Получили из равенства (*`) -Синусы малых углов примерно равны величинами самих углов, а это значит, что для нахождения синусов малых углов достаточно воспользоваться (*`), разумеется, что угол здесь измерен в радианах.
Возникает вопрос: каков диапазон углов, синусы которых можно находить по (*`)?

6), то с точностью до 4-го знака после запятой

работает равенство sin x = x.
Пример: Х = 2°; sin2°≈2°(рад); тогда2°—Х рад180°—π радХ = 2π/180°=π/90°=3,14/90°=0,03488, получим, чтоsin2°=0,03488, точное значение sin2°=0,03489 (по МК)

= x с точностью до 3-го знака.
Пример:

Х = 10°;sin10°≈10(рад); тогда10°—Х рад180°—π радХ = 10π/180°=π/18°=3,14/18°=0,1744, получим, чтоsin10°=0,1744; точное значение sin10°=0,1744 (по МК)

= x с точностью до 2-го знака.
Пример:

Х = 18°;sin18°≈18(рад); тогда18°—Х рад180°—π радХ = 18π/180°=π/10°=3,14/10°=0,314, получим, чтоsin10°=0,314; точное значение sin18°=0,309 (по МК)

Тот факт, что синусы малых

углов можно заменить величинами самих углов, имеет непревзойдённое значение и при решении прямоугольных треугольников, когда острый угол заключён в

требуется найти h.
Из соотношения

Если угол небольшой, то sina=a и тогда h=l*a
Из расчётов “ушёл” синус, оперируем только углами.
На сколько это важно – убедитесь при расчётах различных оптических систем, а также в механике при движении тел по наклонной плоскости с малыми углами наклона.
Возможность (*) ещё и в том, что с его помощью можно доказать, что

Углов точность понижается, другими словами диапазон углов, для которых

tg x, меньший, чем у синуса.

можно обойтись без таблиц и вычислительной техники, для этого

достаточно данный угол выразить в радианной мере,



2.Тангенсы малых углов при расчётах можно заменить синусами.

3.Если угол небольшой, то при решении прямоугольных треугольников синусы можно заменить углами.

1го “замечательного’ предела можно убедиться в его истинности, выполнив

с помощью, разумеется вычислительных средств, следующие расчёты: взять ряд произвольных углов, например,
перевести их в радианы, затем найти синусы заданных углов и взять отношение

Это отношение всё меньше и меньше будет отличаться от единицы.
Ниже приведена таблица с результатами расчётов.

функции


x→∞
В курсе высшей математике доказывается,

что предел (1+1/x)x при Х ∞ существует (он больше 2, но меньше 3) и выражается иррациональным числом, т. е.
2< <3
Х→∞

следующую таблицу выражения (1+1/x)x при возрастающих значениях Х:
х

1 2 5 10 100 1000
(1+1/x)x 2 2,25 2,49 2,59 2,705 2,713
Из таблицы видно, что по мере возрастания Х выражение (1+1/x)x также возрастает, замедляясь в росте.
Предел при Х ∞, равный приближенно 2,718, принято обозначать буквой е, которое называется числом Непера.
Джон Непер (1550 – 1617) шотландский математик, он был первым создателем таблиц логарифмов – натуральных, которые в математике называют НЕПЕРОВЫМИ.

= 2,71828….= е –
x→∞

число Непера

В прикладных дисциплинах это число называют экспонентой (exp) и записывают так: exp=2,71828….=е
exp (5х)=е5х;
exp (-2t)=e-2t.
Можно доказать, что для любой бесконечно малой функции α выражение (1+α)1/α , т. е. lim (1+α)1/α
α→0

называют “замечательным”?
Во-первых, в математике число е

имеет очень важное значение, которое можно сравнить со значением числа π = 3,14. Как было отмечено в теории логарифмов, число е принимают за основание натуральных чисел, или Неперовых логарифмов, имеющих большое применение в математическом анализе, так как с их помощью многие формулы можно представить в более простом виде, чем при пользовании десятичными логарифмами.
Во – вторых, нет такой области в науке и технике, где можно было бы обойтись без числа е: многие параметры, которые характеризуют переменные процессы, изменяются по экспоненциальному закону, то есть по закону, связанному с числом Непера.